Διάσταση Hausdorff

Ορισμός 3.2.1   Έστω $(X,d\,)$ μετρικός χώρος, τότε για ένα σύνολο $A\subset X$ ορίζουμε την διάσταση Hausdorff του συνόλου $A$, $\dim_\mathcal{H} A$, να είναι ο αριθμός $\textlatin{s_0}\in[\,0,\infty\,]$, τέτοιος ώστε για $s\in[\,0,\infty\,]$ να ισχύει ότι:

1. Αν $\mathcal{H}^s\left(A\right)=\infty$ τότε $s<s_0$
2. Αν $\mathcal{H}^s\left(A\right)=0$ τότε $s>s_0$

Στην περίπτωση που $\mathcal{H}^s\left(A\right)=0, \forall\; s\in[\,0,\infty\,]$ έχουμε ότι η $\dim_\mathcal{H} A=0$, ενώ αν $\mathcal{H}^s(A)=\infty$ έχουμε ότι η $\dim_\mathcal{H} A=\infty$

Figure: Εποπτική γραφική παράσταση για την συμπεριφορά του $s$-διάστατου μέτρου Hausdorff

Μιλώντας μη αυστηρά η διάσταση Hausdorff ενός συνόλου $F$ είναι το σημείο όπου η γραφική παράσταση του $\mathcal{H}^s(F)$ (προσοχή συναρτήσει του $s$ και όχι του $F$) κάνει το άλμα από το άπειρο στο μηδέν, σχήμα 3.1.

Θεώρημα 3.2.1   Έστω $f: X\rightarrow Y$ μια συνάρτηση στο $Y$ ομοιότητας με λόγο $r>0$, έστω $s>0$ και $F\subseteq X$ είναι σύνολο $\latintext Borel \greektext$. Τότε $\mathcal{H}^s(f[F])=r^s \mathcal{H}^s(F)$ και άρα $\dim_{\mathcal{H}}f[F]=\dim_{\mathcal{H}}F$.

Απόδειξη: Έστω $\rho$ η μετρική συνάρτηση. Για $A\subseteq X$ έχουμε ότι

$$\begin{eqnarray*} \mathop{\operator@font diam}(f[A]) &=& \sup \{\rho \left( f(x... ...t)\}\\ &=& \sup \{r \rho(x,y) \}\\ &=& r \sup\{\rho(x,y) \} \end{eqnarray*}$$

όπου $x,y \in A$ και $f(x),f(y) \in f[A]$. Η συνάρτηση ομοιότητας είναι συνεχής και αμφιμονοσήμαντη άρα από το θεώρημα 1.2.1 και το γεγονός ότι $\mathop{\operator@font diam}A<\varepsilon \Rightarrow \mathop{\operator@font diam}f[A] <\varepsilon r$ συμπεραίνουμε πως κάθε $\varepsilon$-κάλυψη του $F$ είναι $\varepsilon r$-κάλυψη του $f[F]$ και το αντιστροφο.

Τώρα, έστω ότι $\mathcal{A}_f = \{f[A_i]\}$ είναι μια $\varepsilon r$-κάλυψη του $f[F]$. Τότε υπάρχει $\mathcal{A}$ $\varepsilon$-κάλυψη του $F$ και αντίστροφα. Από τον ορισμό έχουμε

$$\begin{eqnarray*} \mathcal{H}^s_{\varepsilon r}(f[F]) &=& \inf \{\sum_{f[A_i]\i... ...or@font diam}A_i)^s\}\\ &=& r^s \mathcal{H}^s_\varepsilon (F) \end{eqnarray*}$$

Έπεται ότι $\mathcal{H}^s(f[F])=r^s \mathcal{H}^s(F)$ και άρα $\dim_{\mathcal{H}}f[F]=\dim_{\mathcal{H}}F$. $\Box$

Θεώρημα 3.2.2   Έστω $A,\ B$ σύνολα Borel

1. Αν $A\subseteq B$ τότε $\dim_{\mathcal{H}} A\leq \dim_{\mathcal{H}} B$
2. $\dim_{\mathcal{H}}(A\cup B) = \max\{\dim_{\mathcal{H}}A, \dim_{\mathcal{H}} B\}$

Απόδειξη: (1) Έστω $A\subseteq B$. Αν $s>\dim_{\mathcal{H}} B$ τότε από την μονοτονία του μέτρου ισχύει $\mathcal{H}^s(A)\leq \mathcal{H}^s(B)=0$. Άρα $\dim A\leq 0$. Αυτό ισχύει για όλα $s>\dim B$, οπότε $\dim A\leq \dim B$.

(2) Έστω $s>\max \{\dim_{\mathcal{H}}A, \dim_{\mathcal{H}} B \}$, τότε $s>\dim A$ άρα $\mathcal{H}^s(A)=0$. Όμως $\mathcal{H}^s(B)=0$, τότε $\mathcal{H}^s(A\cup B)\leq \mathcal{H}^s(A)+\mathcal{H}^s(B)$. Έπεται $\dim_{\mathcal{H}} (A\cup )\leq s$. Αυτό ισχύει για όλα $s>\max \{\dim_{\mathcal{H}}A, \dim_{\mathcal{H}} B \}$ άρα έχουμε $\dim_{\mathcal{H}} (A\cup B)\leq \max\{\dim_{\mathcal{H}}A, \dim_{\mathcal{H}} B\}$. $A\subseteq A\cup B$ και $B\subseteq A\cup B$ από την (1) έχουμε $\dim_{\mathcal{H}}(A\cup B) \geq \max\{\dim_{\mathcal{H}}A, \dim_{\mathcal{H}} B\}$. $\Box$

Σύνολα Cantor. Θα μελετήσουμε τώρα την διάσταση Hausdorff του συνόλου Cantor $C(\lambda)$. Βάσει του ορισμού του μέτρου Hausdorff , είναι σχετικά πιο εύκολο να βρούμε το άνω φράγμα του, παρά το κάτω. Μια ((καλή)) κάλυψη του συνόλου, θα μας δώσει μια εκτίμηση του άνω φράγματος.

Από τον ορισμό 1.5.7 του συνόλου Cantor έχουμε ότι

$$C(\lambda)=\bigcap_{k\in\mathbb{N}}\bigcup_{j=1}^{2^k} I_{k,j}$$

άρα για κάθε $k=1,2,...$ ισχύει ότι $C(\lambda)\subseteq \cup_{j=1}^{2^k} I_{k,j}$. Αφού το μέτρο είναι μονότονη συνάρτηση έχουμε ότι

$$\mathcal{H}_{\lambda^k}^{s}(C(\lambda)) \leq \sum_{j=1}^{2^... ...erator@font diam}I_{k,j})^s=2^k \lambda^{k s}=(2\lambda^s)^k.$$

Θέλουμε $\varepsilon =\lambda^k \rightarrow 0$ και επειδή $0<\lambda<1/2$, στην ουσία ζητάμε $k\rightarrow \infty$ και παράλληλα το $(2\lambda^s)^κ$ να παραμένει φραγμένο και όχι μηδέν. Η μόνη περίπτωση για να ισχύει αυτό είναι αν έχουμε $2 \lambda^s = 1 \Rightarrow \log \lambda^s =\log 1/2 \Rightarrow$

$$s=\frac{\log 1/2}{\log \lambda}$$

Άρα για $s=\log (1/2)/\log \lambda$ έχουμε

$$\mathcal{H}^s(C(\lambda))=\lim_{k\rightarrow \infty} \mathcal{H}_{\lambda^k}^{s}(C(\lambda))\leq 1$$

Στην συνέχεια θα δείξουμε ότι για $s=\log (1/2)/\log \lambda$, ισχύει

$$\mathcal{H}^s(C(\lambda))\geq \frac{1}{4}$$ (3.2)

το οποίο μας λεεί ότι η $\dim_{\mathcal{H}}C(\lambda)=\log (1/2)/\log \lambda$. Για να το δείξουμε, αρκεί να δείξουμε ότι

$$\sum_{j=1}^{\infty}(\mathop{\operator@font diam}I_j)^s\geq \frac{1}{4}$$ (3.3)

όπου τα $I_1,I_2,...$ είναι οποιαδήποτε ανοικτά διαστήματα, η ένωση των οποίων καλύπτει το $C(\lambda)$. Από την στιγμή που το $C(\lambda)$ είναι συμπαγές, υπάχει πεπερασμένη υποκάλυψη. Υποθέτουμε ότι $I_1,I_2,...,I_n$ είναι μια ανοιχτή κάλυψη του $C(\lambda)$. Αφού $C(\lambda)$ δεν έχει κανένα εσωτερικό σημείο, μπορούμε, κάνοντας εν'' ανάγκη τα $I_j$ λίγο μεγαλύτερα, να υποθέσουμε ότι τα άκρα κάθε $I_j$ δεν ανήκουν στο $C(\lambda)$. Τότε υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε η απόσταση από τα άκρα των διαστημάτων $I_j$ και τα σημεία του $C(\lambda)$ να είναι τουλάχιστον $\delta$. Διαλέγοντας $k$ τόσο μεγάλο ώστε $\delta > \lambda^k=\mathop{\operator@font diam}I_{k,i}$, έπεται ότι κάθε διάστημα $I_{k,i}$ περιέχεται σε κάποιο $I_{j}$.

Υπενθυμίζουμε ότι ο συμβολισμός των διαστημάτων $I_{k,i}$ προέρχεται από την κατασκευή του συνόλου Cantor στον ορισμό 1.5.7.

Θα δείξουμε τώρα ότι για οποιοδήποτε ανοιχτό διάστημα $I$ και δοσμένο $l$ ισχύει

$$\sum_{I_{l,i}\subset I}(\mathop{\operator@font diam}I_{l,i})^s \leq 4(\mathop{\operator@font diam}I)^s$$ (3.4)

Αυτό αρκεί διότι

$$4 \sum_j (\mathop{\operator@font diam}I_j)^s \geq \sum_j \s... ... \sum_{i=1}^{2^k} (\mathop{\operator@font diam}I_{k,i})^s = 1$$

Τώρα όσον αφορά την 3.4, υποθέτουμε ότι υπάρχουν κάποια $I_{l,i}$ υποσύνολα του $I$. Έστω $n$ είναι εκείνο το βήμα για το οποίο κάποια από τα διαστήματα $I_{n,i}$ περιέχονται στο $Ι$. Τότε $n\leq l$ και τα διαστήματα $I_{n,i}$ που τέμνουν το $I$ (προσοχή όχι μόνο εκείνα που περιέχονται εξ'' ολοκλήρου στο $I$) είναι το πολύ $4$, ειδάλλως το $I$ θα περιείχε κάποια από τα διαστήματα του προηγουμένου βήματος $n-1$. Έτσι για $0 < r\leq 4$ έχουμε

$$\begin{eqnarray*} \mathop{\operator@font diam}I &\geq& \mathop{\operator@font d... ...&\geq& \sum_{m=1}^{r}(\mathop{\operator@font diam}I_{n,j_m})^s. \end{eqnarray*}$$

Όμως,

$$\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^{r}(\mathop{\operator@font diam}I_{n,j_m})^s &=& \... ... l\log \frac{1}{2} \Leftrightarrow \\ -n \log 2 &=& -n \log 2 \end{eqnarray*}$$

Ενδεχομένος τα $I_{l,i}$ που είναι υποσύνολα του $I$ να μην είναι όλα υποσύνολα της $\cup_{m=1}^{r}I_{n,j_m}$, άρα

$$\sum_{m=1}^{r}\sum_{I_{l,i}\subset I_{n,j_m}}(\mathop{\oper... ...um_{I_{l,i}\subset I}(\mathop{\operator@font diam}I_{l,i})^s$$

οπότε και δείξαμε την 3.4.

Παρατηρούμε ότι η διάσταση Hausdorff των συνόλων Cantor , $C(\lambda)$, ((μετράει)) με φυσικό τρόπο τα μεγέθη τους. Όταν το $\lambda$ αυξάνεται, το μηκος των διαγραμμένων διαστημάτων μειώνεται και το σύνολο Cantor ((μεγαλώνει)) και παράλληλα μεγαλώνει η $\dim_{\mathcal{H}} C(\lambda)$. Επίσης αν αφήσουμε το $\lambda$ να διατρέξει από $0$ ως το $1/2$, η $\dim_{\mathcal{H}} C(\lambda)$ θα πάρει τις τιμές από $0$ ως το $1$.

Πρόταση 3.2.1   Έστω μια συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ και $A\subseteq X$ ένα σύνολο Borel . Αν η $f$ ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz δηλαδή

$$\rho_2 (f(x),f(y))\leq l \rho_1(x,y)$$

όπου $l$ μια θετική σταθερά, $x,y \in S$ και $\rho_1 ,\rho_2$ είναι μετρικές πάνω στα $X$ και $Y$ αντίστοιχα. Τότε $\mathcal{H}^s(f[A])\leq l^s \mathcal{H}^s (A)$ και $\dim_{\mathcal{H}}f[A]\leq \dim_{\mathcal{H}}A$.

Απόδειξη: Έστω $\{U_i\}$ μια $\varepsilon /l$-κάλυψη του $A$ τότε για κάθε $i$ ισχύει $\mathop{\operator@font diam}f[A\cap U_i]\leq l \mathop{\operator@font diam}(A\cap U_i)\leq l \mathop{\operator@font diam}U_i$, αφού η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση. Τότε όμως $\{f[A\cap U_i]\}$ είναι μια $\varepsilon$-κάλυψη του $f[A]$. Έτσι $\sum_i (\mathop{\operator@font diam}f[A\cap U_i])^s\leq l^s \sum_i (\mathop{\op... ...\mathcal{H}_{\varepsilon}^{s}(F[A])\leq l^s \mathcal{H}^{s}_{\varepsilon /l}(A)$. Αν πάρουμε όρια για $\varepsilon\rightarrow 0$, τότε και $\varepsilon / l\rightarrow 0$, έχουμε $\mathcal{H}^s(f[A])\leq l^s \mathcal{H}^s (A)$.

Έστω τώρα ότι $t > \dim_{\mathcal{H}}A$ τότε $\mathcal{H}^t=0$ και $\mathcal{H}^t(f[A]\leq 0)$, όμως αυτό σημαίνει ότι $\dim_{\mathcal{H}}f[A]\leq t$ για όλα τα $t > \dim_{\mathcal{H}}A$, άρα $\dim_{\mathcal{H}}f[A]\leq \dim_{\mathcal{H}}A$. $\Box$

Γενικά η διάσταση Hausdorff ενός συνόλου, μόνη της δεν μας δίνει και πολλές πληροφορίες σχετικά με τις τοπολογικές ιδιότητες του συνόλου. Όμως αν η διάσταση Hausdorff είναι μικρότερη του $1$ τότε το σύνολο θα πρέπει να είναι τόσο αραιό ώστε να μην είναι ούτε καν τοπικά συνεκτικό.

Πρόταση 3.2.2   Έστω $A\subset \mathbb{R}^n$ και $\dim_{\mathcal{H}}A <1$, τότε το σύνολο Α είναι παντού μη-συνεκτικό

Απόδειξη: Έστω $x$ ένα σημείο του $A$. Ορίζουμε μια απεικόνιση (συνάρτηση) $f:\mathbb{R}^n\rightarrow [0,\infty)$ που στέλνει το $y$ στην απόσταση του από το $x$, $f(y)=\rho_n(x,y)$ όπου $\rho_n$ είναι η συνήθης μετρική στο $\mathbb{R}^n$. Η συνάρτηση $f$ ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz ή είναι ομοιότητα, αφού

$$\rho(f(y),f(z))\leq \rho_n(y,z)\Leftrightarrow \vert\rho_n(x,y)-\rho_n(x,z)\vert\le\rho_n(y,z)$$

Διακρίνουμε τώρα τρεις περιπτώσεις. Αν $\rho_n(x,z)<\rho_n(x,y)$ τότε $\rho_n(x,y)\leq \rho_n(y,z)+\rho_n(z,x)$ ισχύει λόγο της τριγωνικής ανισότητας. Αν $\rho_n(x,z)>\rho_n(x,y)$, το επιχείρημα είναι όμοιο. Τέλος αν $\rho_n(x,z)=\rho_n(x,y)$ τότε $\rho_n(y,z)\geq 0$ κάτι που ισχύει αφού η μετρική είναι μη αρνητική συνάρτηση. Τώρα αν η $f$ ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz από την πρόταση 3.2.1 έχουμε ότι $\dim_{\mathcal{H}}f[A]\leq \dim_{\mathcal{H}}A<1$ και αν η $f$ είναι ομοιότητα, από το θεώρημα 3.2.1 έχουμε $\dim_{\mathcal{H}}f[A]= \dim_{\mathcal{H}}A<1$, και στις δύο περιπτώσεις $\dim_{\mathcal{H}}f[A]<1$. Άρα $\mathcal{H}^1 f[A]=0$, το μονο-διάσταο μέτρο Hausdorff εκφράζει το μήκος του $f[A]$. Από το θεώρημα 1.4.2 αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο $f[A]$ είναι παντού μη συνεκτικό. Από το θεώρημα 1.4.1 για να είναι συνεκτικός ο υπόχωρος του $\mathbb{R}$ πρέπει να είναι διάστημα. Το $f[A]$ δεν είναι διαστημα (έχει μήκος $0$), μάλιστα το $f[A]$ δεν περιέχει κανένα διάστημα, άρα είναι παντού μη συνεκτικό. $\Box$

Σκόνη Cantor
Έστω ένα τετράγωνο πλευράς $a$. Σε κάθε στάδιο της κατασκευής, τα τετράγωνα χωρίζονται σε 16 τετράγωνα με μήκος ακμής 1/4 του μήκους ακμής, από τα οποία τέσσερα του ((ίδιου σχεδίου)) παραμένουν, έτσι ώστε η προβολή τους στο άξονα $x'x$ να καλύπτει διάστημα μήκους $a$. Μετά από άπειρα στάδια πέρνουμε το σύνολο $F$ το οποίο και το λέμε ((σκόνη Cantor)), σχήμα 3.2. Θα εξετάσουμε στην συνέχεια την διάσταση Hausdorff του $F$.

Παίρνοντας την προφανή κάλυψη του $F$ που αποτελείται από $4^k$ τετράγωνα πλευράς $a 4^{-k}$, δηλαδή διαμέτρου $\delta = a 4^{-k}\sqrt{2}$, στο $E_k$, όπου $E_k$ είναι το $k$-οστό στάδιο της κατασκευής, έχουμε μια εκτίμηση του $\mathcal{H}_{\delta}^{1}(F)\leq 4^k a 4^{-k}\sqrt{2}$. Για $k\rightarrow 0$ το $\delta\rightarrow 0$ άρα

$$\mathcal{H}^1 \leq a \sqrt{2}$$

Άρα η διάσταση Hausdorff είναι μικρότερη από 1. Αν δείξουμε ότι $\mathcal{H}^1 >0$ τότε η $\dim_\mathcal{Η}F=1$.

Έστω η συνάρτηση $f$ είναι ορθοκανονική προβολή του $F$ στον άξονα $x'x$. Η ορθοκανονική προβολή δεν μεγάλωνει τις αποστάσεις, δηλαδή $\vert f(x)-f(y)\vert\leq \vert x-y\vert$ αν $x,y\in\mathbb{R}^2$, άρα $f$ ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz. Βάσει της κατασκευής η προβολή του $F$ στον άξονα $x'x$ θα είναι διάστημα $[0,a]$, σχήμα 3.2. Από την πρόταση 3.2.1

$$a=\mathcal{H}^1([0,a])=\mathcal{H}^1(f[F])\leq \mathcal{H}^1(F)$$

Figure: Σκόνη Cantor

Το ((κόλπο)) που χρησιμοποιήσαμε την προβολή για να πάρουμε την κάτω εκτίμηση, δουλεύει μόνο σε συγκεκριμένες περιπτώσεις και δεν αποτελεί βάση για μια πιό γενική μέθοδο.