Συνέχεια Συναρτήσεων

Ορισμός 1.2.1   Έστω $(X,\rho_1)$ $(Y,\rho_2)$ μετρικοί χώροι και μια συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$. Η $f$ λέγεται συνεχής συνάρτηση αν για κάθε $x_0\in X$ και κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $\delta=\delta(x_0,\varepsilon)>0$ ώστε για κάθε $x\in X$ με $\rho_1(x,x_0)<\delta$ έχουμε ότι $\rho_2(f(x),f(x_0))<\varepsilon$.

Θα ορίσουμε τώρα την συνάρτηση ομοιότητας (similarity)

Ορισμός 1.2.2   Μια συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ από μετρικό χώρο $(X,\rho_1)$ σε $(Y,\rho_2)$, θα λέγεται ομοιότητα αν και μόνο αν υπάρχει $r>0$ ώστε

$$\rho_2(f(x),f(y))=r \rho_1(x,y)$$

για όλα τα $x,y \in S$. Ο αριθμός $r$ καλείται λόγος της $f$. Δύο μετρικοί χώροι είναι όμοιοι αν και μόνο αν υπάρχει μια συνάρτηση ομοιότητας από τον έναν στον άλλο.

Παράδειγμα: Η ταυτοτική συνάρτηση $f:X\rightarrow X$ είναι συνεχής.

Παράδειγμα: Κάθε συνάρτηση ομοιότητας είναι συνεχής.
Απόδειξη: Αρκεί να πάρουμε $\delta = \varepsilon / r$. Μάλιστα ισχύει κάτι πιο ισχυρό, κάθε συνάρτηση ομοιότητας είναι ομοιόμορφα συνεχής. $\Box$

Ορισμός 1.2.3   Ομοιόμορφη Συνέχια
Έστω $(X,\rho_1)$, $(Y,\rho_2)$ μετρικοί χώροι και $f: X\rightarrow Y$ μια συνάρτηση. Η $f$ λέγεται ομοιόμορφα συνεχής αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $\delta=\delta(\varepsilon )>0$ ώστε

$$\rho_1(x,y)<\delta \Rightarrow \rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon$$

για όλα τα $x,y\in X$.

Ορισμός 1.2.4   Έστω $f: X\rightarrow Y$ συνάρτηση και $A\subseteq X,\ B\subseteq Y$.
Εικόνα του $A$ μέσω της $f$ είναι

$$f[A]=\{f(x) \ \hbox{ώστε}\ x\in A\}$$

Αντίστροφη εικόνα του $B$ μέσω της $f$ είναι

$$f^{-1}[B]=\{x\in X \ \hbox{ώστε} \ f(x)\in B \}$$

Θεώρημα 1.2.1   Έστω $f: X\rightarrow Y$ είναι μια συνάρτηση. Έστω επίσης ότι για κάθε $\lambda\in L$, έχουμε ότι $X_{\lambda}\subseteq X,\ Y_{\lambda}\subseteq Y$ τότε

$$\begin{eqnarray*} &1.&\ \ f[\bigcup_{\lambda\in L} X_{\lambda}]=\bigcup_{\lambd... ...bda\in L}Y_{\lambda}]=\bigcap_{\lambda\in L}f^{-1}[Y_{\lambda}] \end{eqnarray*}$$

Απόδειξη: Έστω $y\in f[\cup_{\lambda\in L}X_{\lambda}]$ δηλαδή υπάρχει $x\in \cup_{\lambda\in L} X_{\lambda}$ με $f(x)=y$. Έχουμε $x\in X_{\lambda_0}$ για κάποιο $\lambda_0\in L$ και $f(x)=y$ συνεπάγεται $y\in f[X_{\lambda_0}]\Rightarrow y\in \cup_{\lambda\in L} f[X_{\lambda}]$.

Τώρα $y\in \cup_{\lambda\in L}f[X_{\lambda}]\Rightarrow y\in f[X_{\lambda_0}]$ για κάποιο $\lambda_0\in L$, άρα $y=f(x)$ για κάποιο $x\in X_{\lambda_0}\subseteq \cup_{\lambda\in L}X_{\lambda}\Rightarrow y\in f[\cup_{\lambda\in L}X{\lambda}]$ $\Box$

Θεώρημα 1.2.2   Έστω $f: X\rightarrow Y$ μια συνάρτηση μεταξύ μετρικών χώρων $(X,\rho_1)$ και $(Y,\rho_2)$. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα.

1. Η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση.
2. Για κάθε ανοιχτό υποσύνολο $G$ του $Y$, η αντίστροφη εικόνα του $G$, $f^{-1}[G]$ είναι ανοιχτό σύνολο στο μετρικό χώρο $X$.
3. Για κάθε κλειστό υποσύνολο $F$ του $Y$, η αντίστροφη εικόνα του $F$, $f^{-1}[F]$ είναι κλειστό σύνολο στο μετρικό χώρο $X$.

Απόδειξη: $1\Rightarrow 2$. Υποθέτουμε ότι η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση και $G$ ανοιχτό σύνολο στο μετρικό χώρο $(Y,\rho_2)$. Έστω $x_0\in f^{-1}[G]\Rightarrow f(x_0)\in G$. Αφού το $G$ είναι ανοιχτό σύνολο, τότε υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε $B_{\rho_2}(f(x_0),\varepsilon )\subset G$. Από την συνέχεια της $f$, υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε $\rho_1(x_0,x)<\delta$ για κάθε $x\in f^{-1}[G]$, δηλαδή $B_{\rho_1}(x_0,\delta)\subseteq f^{-1}[G]$. Άρα $F^{-1}[G]$ είναι ανοιχτό σύνολο στο $X$.

$2\Rightarrow 1$. Αντίστροφα, έστω για κάθε ανοιχτό σύνολο $G$ η $f^{-1}[G]$ είναι ανοιχτό και αυτό. Θέλουμε να δείξουμε ότι η $f$ είναι συνεχής. Έστω $x_0\in X$ τότε για $\varepsilon>0$ η μπάλα $B_{\rho_2}(f(x_0),\varepsilon )$ είναι ανοιχτή στο $Y$, άρα το σύνολο $f^{-1}[B_{\rho_2}(f(x_0,\varepsilon )]$ είναι ανοιχτό στο $X$, δηλαδή υπάρχει $\delta>0$ ώστε $B_{\rho_1}(x_0,\delta)\subset f^{-1}[B_{\rho_2}(f(x_0),\varepsilon )]\Rightarrow \rho_1(x_0,x)<\delta$ και αφού $B_{\rho_2}(f(x_0),\varepsilon )$ έχουμε ότι $\rho_2(f(x_0),f(x))$. Άρα η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση.

Τώρα $2\Leftrightarrow 3$ ισχύει γιατί το συμπλήρωμα του $F$ είναι ανοιχτό σύνολο και $f^{-1}[F^c]=(f^{1}[F])^c$. $\Box$

Ορισμός 1.2.5   Έστω συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ από μετρικό χώρο $(X,\rho_1)$ στο μετρικό χώρο $(Y,\rho_2)$ και $g:Y\rightarrow Z$ συναρτήση από το μετρικό χώρο $(Y,\rho_2)$ στο $Z,\rho_3$. Ορίσουμε την σύνθεση συναρτήσεων να είναι η καινούργια συνάρτηση $g\circ f: X\rightarrow Z$ και $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Παρατηρούμε ότι για $A\subseteq Z$, η αντίστροφη εικόνα $(g\circ f)^{-1}[A]=f^{-1}[g^{-1}[A]]$.

Θεώρημα 1.2.3   Έστω $X,\ Y,\ Z$ είναι μετρικοί χώροι και $f:X\rightarrow Y,\ g:Y\rightarrow Z$ είναι δύο συνεχείς συναρτήσεις. Τότε η σύνθεση $g\circ f$ είναι και αυτή συνεχής συνάρτηση.

Απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ανοιχτό υποσύνολο $A$ του $Z$ το σύνολο $(g\circ f)^{-1}[A]$ είναι ανοιχτό σύνολο στο $X$. Από το θεώρημα 1.2.2 έχουμε ότι $g^{-1}[A]$ είναι ανοιχτό στο $Y$ και πάλι από το θέωρημα 1.2.2 το $f^{-1}[g^{-1}[A]]$ είναι ανοιχτό σύνολο στο $X$. $\Box$

Θεώρημα 1.2.4   Έστω μετρικοί χώροι $(X,\rho_1)$, $(Y,\rho_2)$ και $(Z,\rho_3)$. Έστω $f: X\rightarrow Y$ και $g:Y\rightarrow Z$ δύο ομοιότητες με λόγους $r_f$ και $r_g$ αντίστοιχα. Τότε η σύνθεση τους $g\circ f$ είναι ομοιότητα με λόγο $r_g r_f$.

Απόδειξη: $\rho_3(g(f(x)),g(f(y)))=r_g \rho_2(f(x),f(y))=r_g r_f(x,y)$ $\Box$