Ακολουθίες

Ορισμός 1.3.1   Μια συνάρτηση $a:\mathbb{N}\rightarrow X$ που έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών, λέγεται ακολουθία στο $X$ και συμβολίζεται με $a_n$ ή $\{a_n\}$ ή $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$. Επιπλέον συνηθίζουμε να γράφουμε $a_n$ για $a(n)$.

Έστω ότι έχουμε μετρικό χώρο $(X,\rho)$ Λέμε ότι η ακολουθία $\{x_n\}$ συγκλίνει σε σημείο $x$ του $X$ αν για κάθε $\varepsilon>0$, υπάρχει $m\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $n\geq m$

$$\rho(x,x_n)<\varepsilon\ \hbox{ή}\ x_n\in B(x,\varepsilon).$$

Συμβολίζουμε την σύγκλιση με $x_n\rightarrow x$.

Θεώρημα 1.3.1   Το όριο μιας ακολουθίας $\{x_n\}$ αν υπάρχει είναι μοναδικό.

Απόδειξη: Έστω ότι η ακολουθία μας $\{x_n\}$ συγκλίνει και έχει δύο διαφορετικά όρια $l_1$ και $l_2$. Τότε έχουμε ότι για $\varepsilon>0$, υπάρχει $m_1\in \mathbb{N}$ ώστε για $n\geq m_1$ να ισχύει $\rho(l_1,x_n)<\varepsilon /2$ και υπάρχει $m_2\in \mathbb{N}$ ώστε για $n\geq m_2$ να ισχύει $\rho(l_2,x_n)<\varepsilon /2$.

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε

$$\rho(l_1,l_2)\leq \rho(l_1,x_n)+\rho(x_n,l_2)$$

για $m=\max\{m_1,m_2\}$ η ανισότητα γίνεται

$$\rho(l_1,l_2)\leq \frac{\varepsilon }{2} +\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$$ (1.2)

Όμως η σχέση 1.2 ισχύει για κάθε θετικό $\varepsilon$ άρα $\rho(l_1,l_2)=0$ και $l_1=l_2$, άτοπο, δηλαδή το όριο είναι μοναδικό. $\Box$

Θεώρημα 1.3.2   Έστω μετρικοί χώροι $(X,\rho_1)$ και $(Y,\rho_2)$ και μια συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

1. η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση.
2. αν $x_n\rightarrow x$ τότε $f(x_n)\rightarrow x$

Απόδειξη: $(1)\Rightarrow (2)$. Υποθέτουμε πρώτα ότι η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση και ότι $x_n\rightarrow x$, θέλουμε να δείξουμε ότι $f(x_n)\rightarrow f(x)$.

Έστω $\varepsilon>0$ τότε, αφού η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση, ισχύει ότι υπάρχει $\delta>0$ ώστε $\rho_1(x,y)<\delta$, τότε $\rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon$ για κάθε $y\in X$. Τώρα αφού $x_n\rightarrow x$ υπάρχει $m\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $n\geq m$ έχουμε ότι $\rho_1(x_n,x)<\delta$ άρα $\rho_2(f(x_n),f(x))<\varepsilon$. Έτσι $f(x_n)\rightarrow f(x)$.

$(2)\Rightarrow (1)$. Για $x\in X$ και $\varepsilon>0$, θα πρέπει να βρούμε $\delta>0$ τέτοιο ώστε $\rho_1(x,y)<\delta\Rightarrow \rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon$. Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει τέτοιο $\delta$ (για να καταλήξουμε σε άτοπο), αυτό σημαίνει ότι για κάθε $n\in\mathbb{N}$ δεν ισχύει για $\delta =1/n$ ώστε $\rho_1(x,y)<1/n\Rightarrow \rho_2(f(x),f(y))$. Δηλαδή υπάρχει $x_n\in X$ τέτοιο ώστε $\rho_1(x_n,x)<1/n$ ενώ $\rho_2(f(x_n),f(x))>\varepsilon$. Εξετάζουμε την ακολουθία $\{x_n\}$ του $X$. Έχουμε ότι $x_n\rightarrow x$ όμως $\rho_2(f(x_n),f(x))>\varepsilon$ άρα $f(x_n)$ δεν συγκλίνει, άτοπο αφού υποθέσαμε ότι $f(x_n)\rightarrow f(x)$, άρα υπάρχει $\delta>0$ ώστε $\rho_1(x,y)\Rightarrow \rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon$ και η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση. $\Box$

Θεώρημα 1.3.3   Η ακολουθία $\{a_n\}=(x_n,y_n)$ το $\mathbb{R}^2$ συγκλίνει στο σημείο $a=(x,y)\in \mathbb{R}^2$ αν και μόνο αν $x_n\rightarrow x$ και $y_n\rightarrow y$ στο $\mathbb{R}$.

Θεώρημα 1.3.4   Έστω $\{x_n\}$ μια ακολουθία του υποσυνόλου $A$ μετρικού χώρου $X$. Έστω ότι $x_n\rightarrow x$, τότε $x\in \overline{A}$.

Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι $x\not \in \overline{A}$. Τότε $G=X\setminus\overline{A}$ είναι ανοιχτό υποσύνολο στο $X$ και $x\in G$. Έχουμε ότι $A\cap G=\emptyset$ αφού $A\subset\overline{A}$, άρα $x_n\not \in G$ για όλα τα $n\in\mathbb{N}$. Αφού το $G$ είναι ανοιχτό σύνολο έχουμε ότι για $x\in G$ υπάρχει $\varepsilon>0$ με $B(x,\varepsilon )\subset G$. Τώρα έχουμε ότι $x_n\rightarrow x$ που σημαίνει ότι υπάρχει $m\in \mathbb{N}$ ώστε για $n\geq m$ να ισχύει $\rho(x_n,x)<\varepsilon$, δηλαδή από κάποιο $m$ και μετά όλα τα στοιχεία της ακολουθίας βρίσκονται στην μπάλα $B(x,\varepsilon)$, άτοπο. Άρα $x\in \overline{A}$. $\Box$

Ορισμός 1.3.2   Έστω $\{x_n\}$ ακολουθία σημείων του μετρικού χώρου $(X,\rho)$. Έστω $1\leq n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$ όπου $n_k\in \mathbb{N}$, τότε τα σημεία $x_{n_1},x_{n_2},\ldots,x_{n_k},\ldots$ λέγεται ότι αποτελούν υπακολουθία της $x_n$ και γράφεται $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ ή $\{x_{n_k}\}$ ή απλά $x_{n_k}$.

Θεώρημα 1.3.5   Έστω $\{x_n\}$ είναι μια ακολουθία μετρικού χώρου $(X,\rho)$ και έστω η ακολουθία $\{x_n\}$ συγκλίνει στο $x$. Έστω $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ υπακολουθία της $\{x_n\}$. Τότε η $x_{n_k}\rightarrow x$.

Απόδειξη: Έστω $\varepsilon>0$. Από την σύγκλιση της $x_n$ έχουμε ότι υπάρχει $m\in \mathbb{N}$ ώστε $\rho(x,x_n)<\varepsilon$ για όλα τα $n\geq m$. Άρα για κάθε $k\geq m$ έχουμε ότι $n_k> k\geq m$ και $\rho(x,x_{n_k})<\varepsilon$, άρα $x_{n_k}\rightarrow x$. $\Box$