Τοπολογία Μετρικού Χώρου

Ορισμός 1.1.2   Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος. Μια ανοιχτή μπάλα με ακτίνα $r>0$ και κέντρο το στοιχείο $a\in X$ είναι το σύνολο

$$B(a,r)=\{x \ \hbox{ώστε}\ \rho(a,x)<r, x\in X\}$$

Ορισμός 1.1.3   Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος. Μια κλειστή μπάλα με ακτίνα $r>0$ και κέντρο το στοιχείο $a\in X$ είναι το σύνολο

$$C(a,r)=\{x \ \hbox{ώστε}\ \rho(a,x)\leq r, x\in X\}$$

Προφανώς $B(a,r)\subset C(a,r)$. Μερικά παραδείγματα:
Παράδειγμα: Στο $\mathbb{R}$, με την συνήθη μετρική, η ανοιχτή μπάλα εμφανίζεται σαν ανοιχτό διάστημα (δηλαδή διάστημα της μορφής $(-x,x)$ ).

$$B(a,r)=\{x\in\mathbb{R} \ \hbox{ώστε}\ \vert x-a\vert<r\}$$

Ενώ η κλειστή μπάλα εμφανίζεται σαν κλειστό διάστημα.

$$C(a,r)=\{x\in\mathbb{R} \ \hbox{ώστε}\ \vert x-a\vert\leq r\}$$

Παράδειγμα: Στο $\mathbb{R}^2$ με την συνήθη μετρική η ανοιχτή μπάλα είναι ο ανοιχτός δίσκος με κέντρο $a$ και ακτίνα $r$ (δηλαδή ο δίσκος χωρίς τον κύκλο $(x_1-a)^2+(x_2-a)^2=r^2$).

$$\begin{eqnarray*} B(a,r)&=&\{x\in\mathbb{R}^2 \ \hbox{ώστε}\ \rho (x-a)<r\}\\ ... ...n\mathbb{R}^2 \ \hbox{ώστε}\ \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2}<r\} \end{eqnarray*}$$

Ενώ η κλειστή μπάλα εμφανίζεται σαν τον δίσκο ακτίνας $r$ και με κέντρο $a$.

$$\begin{eqnarray*} C(a,r)&=&\{x\in\mathbb{R}^2 \ \hbox{ώστε}\ \rho(x-a)\leq r\}\... ...thbb{R}^2 \ \hbox{ώστε}\ \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2}\leq r\} \end{eqnarray*}$$

Παράδειγμα: Στο $\mathbb{R}^3$ με την συνήθη μετρική η ανοιχτή μπάλα είναι το περιεχόμενο της σφαίρας που το κέντρο της είναι $a$ και ακτίνα $r$.

$$B(a,r)=\{ x\in\mathbb{R}^3 \ \hbox{ώστε}\ \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2+(x_3-a_3)^2} <r\}$$

Η κλειστή μπάλα είναι ολόκληρη σφαίρα με κέντρο $a$ και ακτίνα $r$.

Ορισμός 1.1.4   Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος. Ένα υποσύνολο $G\subset X$ λέγεται ανοιχτό σύνολο (ως προς την μετρική $\rho$) αν για κάθε $x\in G$ υπάρχει $\varepsilon_x>0$ ώστε η ανοιχτή μπάλα με κέντρο $x$ και ακτίνα $\varepsilon_x$ να είναι υποσύνολο του $G$.

Παράδειγμα: Το κενό σύνολο είναι ανοιχτό. Το $\mathbb{R}$ με συνήθη μετρική είναι ανοιχτό.

Παράδειγμα: Το σύνολο $A=[0,1)$ δεν είναι ανοιχτό στο μετρικό χώρο $(\mathbb{R},\rho)$, όπου $\rho$ είναι συνήθης μετρική, γιατί για $\varepsilon>0$ πρέπει να έχω $B(0,\varepsilon)=(-\varepsilon,\varepsilon)\subset A$ όμως $-\varepsilon /2 \in (-\varepsilon,\varepsilon)$ και $-\varepsilon /2 \notin A$.

Πρόταση 1.1.1   Σε κάθε μετρικό χώρο $(X,\rho)$, κάθε ανοιχτή μπάλα $B(x,r)$ είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη: Έστω $y\in B(x,r)$. Τότε $\rho(x,y)<r$. Οπότε $\varepsilon=r-\rho(x,y)>0$. Αρκεί να δείξουμε ότι $B(y,\varepsilon)\subset B(x,r)$. Έστω $z\in B(y,\varepsilon)$, τότε $\rho (y,z)<\varepsilon$ όμως από την ιδιότητα (3) της μετρικής (ορισμός 1.1.1) έχουμε ότι $\rho (x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z) < r-\varepsilon+\varepsilon=r$ δηλαδή $z\in B(x,r)$, άρα δείξαμε οτι $B(y,\varepsilon)\subset B(x,r)$. $\Box$

Πρόταση 1.1.2   Κάθε ανοιχτό σύνολο $G$ του μετρικού χώρου $(X,\rho)$ είναι μια ένωση ανοιχτών μπαλών.

Απόδειξη: Για κάθε $x\in G$ υπάρχει $\varepsilon_x>0$ ώστε $B(x,\varepsilon_x)\subset G$, τότε όμως $\cup_{x\in G}B(x,\varepsilon_x)=G$ $\Box$
Έστω $x\in\mathbb{R}^n$, ορίζουμε την συνήθη νόρμα στο $\mathbb{R}^n$ (ή $l_2$ νόρμα) να είναι

$$\vert\vert x\vert\vert=(x_1^2+x_2^2+\cdots + x_n^2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$$

Πρόταση 1.1.3   Το πλήθος των στοιχείων μιας μπάλας $B(x,\varepsilon)$ του $\mathbb{R}^n$, με τη συνήθη μετρική, είναι υπεραριθμήσιμο.

Απόδειξη: Για κάθε $0\leq\lambda<\varepsilon$ το σημείο $x+\lambda x/\vert\vert x\vert\vert \in B(x,\varepsilon)$ δηλαδή

$$\rho(x,x+\frac{\lambda x}{\vert\vert x\vert\vert})=\left\ve... ...c{\vert\vert x\vert\vert}{\vert\vert x\vert\vert}<\varepsilon$$

και επιπλέον το σημείο $x+\lambda x/\vert\vert x\vert\vert$ ορίζεται αμφιμονοσήμαντα σε σχέση με το $\lambda$, οπότε το πλήθος των σημείων της μπάλας $B(x,\varepsilon)$ είναι τουλάχιστον ο πληθικός αριθμός του διαστήματος $[0,\varepsilon)$, δηλαδή υπεραριθμήσιμο. $\Box$

Μερικές βασικές ιδιότητες ανοιχτών υποσυνόλων του μετρικού χώρου $(X,\rho)$

1. $\emptyset$ και $X$ είναι ανοιχτά.
2. Αν $G_1,G_2,\ldots,G_n$ είναι ανοιχτά υποσύνολα του μετρικού χώρου $(X,\rho)$ τότε και η τομή τους, $\cap_{i=1}^n G_i$, είναι ανοιχτό σύνολο.
3. An $G_i$, όπου $i\in J$ ανοιχτά υποσύνολα του μετρικού χώρου $(X,\rho)$ τότε και η ένωσή τους, $\cup_{i\in J}G_i$, είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη: Η πρώτη ιδιότητα είναι τετριμμένη. Την δεύτερη ιδιότητα θα την δείξουμε με επαγωγή. Θα δείξουμε πρώτα ότι ισχύει για $n=2$ δηλαδή $G_1\cap G_2$ είναι ανοιχτό σύνολο. Έστω $x\in G_1\cap G_2$ τότε $x\in G_1 \ \hbox{και}\ x\in G_2$. Αφού $G_1$ και $G_2$ είναι ανοιχτά σύνολα, υπάρχουν $\varepsilon_1, \varepsilon_2 >0$ ώστε $B(x,\varepsilon_1) \subset G_1 \ \hbox{και}\ B(x,\varepsilon_2)\subset G_2$. Θέτουμε $\varepsilon=\min \{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ τότε $\varepsilon\leq \varepsilon_1$ και $\varepsilon\leq\varepsilon_2$.

$$\left. \matrix{% B(x,\varepsilon)\subset G_1 \cr B(x,\var... ...} \right\}\ \Rightarrow B(x,\varepsilon)\subset G_1\cap G_2$$

Άρα $G_1\cap G_2$ είναι ανοιχτό σύνολο. Υποθέτουμε ότι ισχύει για $n=k$, μένει να δείξουμε ότι ισχύει και για $n=k+1$, κάτι που φαίνεται εύκολα.

Τέλος όσο αφορά την τρίτη ιδιότητα έχουμε; έστω $x\in \cup_{i\in J} G_i$, θα υπάρχει $i_0\in J$ ώστε $x\in G_{i_0}$. Αφού το $G_{i_0}$ είναι ανοιχτό, υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε $B(x,\varepsilon) \subset G_{i_0}\subset \cup_{i\in J}G_i$ άρα $\cup_{i\in J}G_i$ είναι ανοιχτό σύνολο. $\Box$

Στην ιδιότητα δύο μιλάμε για πεπερασμένη τομή (σε αντίθεση με την τρίτη, όπου οι ένωση είναι πάνω σε άπειρα ανοιχτά υποσύνολα). Το επόμενο παράδειγμα δείχνει οτι η ιδιότητα (2) δεν ισχύει για άπειρη τομή.

Παράδειγμα: Στο μετρικό χώρο $(X,\rho)$ τα υποσύνολα $(-1/n,1/n)$ για $n\in\mathbb{N}$ είναι όλα ανοιχτά, όμως η τομή τους $\cap_{n=1}^{\infty}(-1/n,1/n)=\{0\}$ δεν είναι ανοιχτό υποσύνολο του μετρικού μας χώρου.

Νόμοι του De Morgan Έστω $X, L$ σύνολα και για κάθε $\lambda\in L$, το $X_{\lambda}$ είναι και αυτό σύνολο. Τότε

1. $X \setminus \bigcup_{\lambda\in L}X_{\lambda}=\bigcap_{\lambda\in L}(X\setminus X_{\lambda})$
2. $X \setminus \bigcap_{\lambda\in L}X_{\lambda}=\bigcup_{\lambda\in L}(X\setminus X_{\lambda})$

Απόδειξη: (1) Έστω $x\in X \setminus \bigcup_{\lambda\in L}X_{\lambda}$ αυτό σημαίνει ότι $x\in X$ και $x\notin \bigcup_{\lambda\in L}X_{\lambda}$, δηλαδή για κάθε $\lambda \in L\ x\notin X_{\lambda}$. Ισοδύναμα $x\in X \setminus X_{\lambda}$, για κάθε $\lambda\in L$ άρα $x\in \bigcap_{\lambda\in L}(X \setminus X_{\lambda})$

(2) $x\in X \setminus \bigcap_{\lambda\in L}X_{\lambda}\Leftrightarrow x\in X \ \h... ...da \in L \Leftrightarrow x\in \bigcup_{\lambda\in L}(X \setminus X_{\lambda})$ $\Box$

Ορισμός 1.1.5   Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος. Ένα υποσύνολο $G\subset X$ λέγεται κλειστό σύνολο (ως προς την μετρική $\rho$) αν το συμπλήρωμα του $G^c=X\setminus G$ είναι ανοιχτό σύνολο.

Παράδειγμα: Το υποσύνολο $A=[a,b]$ του $\mathbb{R}$ είναι κλειστό στο μετρικό χώρο $(\mathbb{R},\rho)$, αφού το συμπλήρωμά του είναι $(-\infty, a)\cup (b,\infty)$ ανοιχτό σύνολο, ως ένωση ανοιχτών συνόλων.

Μερικές βασικές ιδιότητες κλειστών συνόλων του μετρικού χώρου $(X,\rho)$:

1. $\emptyset$ και $X$ είναι κλειστά υποσύνολα
2. Αν $F_1,F_2,\ldots,F_n$ είναι ανοιχτά υποσύνολα του μετρικού χώρου $(X,\rho)$ τότε και η ένωσή τους, $\cup_{i=1}^n F_i$, είναι ανοιχτό σύνολο.
3. An $F_i$, όπου $i\in J$ ανοιχτά υποσύνολα του μετρικού χώρου $(X,\rho)$ τότε και η τομή τους, $\cap_{i\in J}F_i$, είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη: Από την στιγμή που το κενό σύνολο είναι συμπλήρωμα του $X$ στο μετρικό χωρο $(X,\rho)$ και αντίστροφα το $X$ είναι συμπλήρωμα του κενού, μαζί με την πρώτη ιδιότητα των ανοιχτών συνόλων, έπεται ότι είναι κλειστά σύνολα.

Τα σύνολα $X\setminus F_1, X\setminus F_2,\ldots,X\setminus F_n$, είναι ανοιχτά, άρα η τομή τους $\cap_{i=1}^{n}F_i$ είναι ανοιχτό σύνολο. Οπότε έχουμε

$$\bigcap_{i=1}^n (X\setminus F_i)=X\setminus\bigcup_{i=1}^n F_i$$

άρα $\cup_{i=1}^n F_i$ είναι κλειστό σύνολο. Ομοίως αποδεικνύεται η ιδιότητα τρία $\Box$

Ορισμός 1.1.6   Έστω $(X,\rho)$ ένας μετρικός χώρος και $A$ ένα υποσύνολο του $X$. Η ένωση όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του $X$ που περιέχονται στο σύνολο $A$ θα λέγεται το εσωτερικό ή ο πυρήνας του $A$ και θα συμβολίζεται με $A^{\circ}$. Δηλαδή

$$A^{\circ}=\cup\{G \ \hbox{όπου}\ G \ \hbox{είναι ανοιχτό υποσύνολο του}\ X \ \hbox{ώστε}\ G\subset A\}$$

Άμεση ερμηνεία του ορισμού και μερικά συμπεράσματα που μπορούμε να βγάλουμε είναι ότι το εσωτερικό ενός συνόλου $A$ είναι πάντα ανοιχτό σύνολο. Δεν υπερβαίνει ποτέ το ίδιο το σύνολο, δηλαδή είναι πάντα υποσύνολο του $A$ (αν και μπορεί να ισούται με το ίδιο το $A$). Είναι το μεγαλύτερο ανοιχτό υποσύνολό του και όλα τα ανοιχτά υποσύνολα του $A$ περιέχονται στο $A^{\circ}$.
Παράδειγμα: $\mathbb{R}^{\circ}=\mathbb{R}$, $(a,b]^{\circ}=(a,b)$, $(a,b)^{\circ}=(a,b)$, $\mathbb{N}^{\circ}=\emptyset$, $\mathbb{Q}^{\circ}=\emptyset$

Παράδειγμα: Οποιοδήποτε αριθμήσιμο ή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων υποσύνολο $A$ του $\mathbb{R}$ έχει κενό εσωτερικό σύνολο.

Ορισμός 1.1.7   Έστω $(X,\rho)$ ένας μετρικός χώρος και $A$ ένα υποσύνολο του $X$. Η τομή όλων των κλειστών υποσυνόλων του $X$ που περιέχουν το σύνολο $A$ θα λέγεται κλειστότητα του συνόλου $A$ και θα συμβολίζεται με $\overline{A}$. Δηλαδή

$$\overline{A}=\cap\{F\ \hbox{όπου}\ F \ \hbox{κλειστό υποσύνολο του}\ X \ \hbox{ώστε}\ A\subset F\}$$

Όπως και στην περίπτωση του εσωτερικού συνόλου έτσι και εδώ μπορούμε να βγάλουμε κάποια χρήσιμα συμπεράσματα. Η κλειστότητα ενός συνόλου $A$ είναι κλειστό σύνολο που πάντα περιέχει το $A$. Η κλειστότητα είναι το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το $A$. Το $A$ είναι κλειστό σύνολο αν και μόνο αν είναι ίσο με την κλειστότητα του, $A=\overline{A}$.

Παράδειγμα: Η κλειστότητα των ρητών αριθμών είναι όλο το $\mathbb{R}$, $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$.

Θεώρημα 1.1.1   Έστω $(X,\rho)$ ένας μετρικός χώρος και $A,\ B$ υποσύνολα του $X$. Τότε ισχύουν τα παρακάτω:

1. $(A^{\circ})^{\circ}=A^{\circ}$ και $\overline{(\overline{A})}=\overline{A}$
2. $A\subset B\Rightarrow A^{\circ}\subset B^{\circ}$ και $\overline{A}\subset \overline{B}$
3. $(A\cup B)^{\circ}=A^{\circ}\cup B^{\circ}$ και $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

Η πρόταση ($3$) ισχύει και για πεπερασμένες τομές και ενώσεις αντίστοιχα.

Ορισμός 1.1.8   Έστω $(X,\rho)$ ένας μετρικός χώρος και $A$ ένα υποσύνολο του $X$. Ένα σημείο $a$ του $A$ λέγεται μεμονωμένο σημείο του $A$ αν για κάποιο $\varepsilon>0$ η τομή της ανοιχτής μπάλας με κέντρο $a$ και ακτίνα $\varepsilon$ μαζί με το $A$ είναι το μονοσύνολο $\{a\}$. Δηλαδή αν ισχύει

$$B(a,\varepsilon )\cap A=\{a\}$$

Ορισμός 1.1.9   Έστω $(X,\rho)$ ένας μετρικός χώρος και $A$ ένα υποσύνολο του $X$. Το σύνολο των σημείων που ανήκουν στην κλειστότητα του $A$ αλλά δε ανήκουν στο εσωτερικό του, θα λέγεται το σύνορο του $A$ και θα συμβολίζεται με $\partial A$. Δηλαδή

$$\partial A= \overline{A}\setminus A^{\circ}$$

Ορισμός 1.1.10   Έστω $(X,\rho)$ είναι ένας μετρικός χώρος και $A$ ένα υποσύνολο του $X$. Ένα σημείο $x$ του $X$ λέγεται σημείο συσσώρευσης του $A$ αν για κάθε $\varepsilon>0$ η τομή της ανοιχτής μπάλας με κέντρο $x$ και ακτίνα $\varepsilon$ με το σύνολο $A$ χωρίς το ίδιο το $x$ (αν είναι μέσα στην τομή) δεν είναι κενή. Δηλαδή αν ισχύει

$$B(x,\varepsilon )\cap A\setminus \{x\} \neq \emptyset$$

Το παράγωγο σύνολο του συνόλου $A$ είναι το σύνολο όλων των σημείων συσσώρευσης του $A$ και συμβολίζεται με $A'$, Δηλαδή

$$A'=\{x\in X \ \hbox{όπου}\ x \ \hbox{είναι σημείο συσσώρευσης του}\ A\}$$

Θεώρημα 1.1.2   Έστω $(X,\rho)$ ένας μετρικός χώρος και $A,\ B$ ένα υποσύνολο του $X$. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα

1. Αν $A\subset B$ τότε $A'\subset B'$
2. $A\cup A'=\overline{A}$
3. $(A\cup B)'=A'\cup B'$

Η πρόταση ($3$) ισχύει και για πεπερασμένες ενώσεις

Ορισμός 1.1.11   Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος. Ορίζουμε την απόσταση μεταξύ δύο υποσυνόλων του $X$, $A$ και $B$ να είναι

$$\mathop{\operator@font dist}(A,B)=\inf\{\rho(a,b): a\in A, b\in B\}$$

Ορισμός 1.1.12   Έστω $A$ ένα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου $(X,\rho)$. Θα λέμε ότι το σύνολο $A$ είναι πυκνό υποσύνολο του $X$ αν για κάθε $\varepsilon>0$ ισχύει ότι για κάθε $x\in X$ υπάρχει $y\in A$ ώστε $\rho(x,y)<\varepsilon$

Πρόταση 1.1.4   Ένα υποσύνολο $A$ ενός μετρικού χώρου $(X,\rho)$ είναι πυκνό υποσύνολο του $X$ αν και μόνο αν

$$\overline{A}=X$$

Απόδειξη: Αρχικά θεωρούμε ότι το σύνολο $A$ είναι πυκνό υποσύνολο του $X$. Τότε για τυχόν $x\in X$ έχουμε ότι για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $y\in A$ ώστε $\rho(x,y)<\varepsilon \Leftrightarrow y\in B(x, \varepsilon )\Leftrightarrow B(x,\varepsilon )\cap A\neq \emptyset$. Αυτό σημαίνει ότι αν $x\not \in A$ τότε $x\in A'$ άρα $x\in A\cup A'$ δηλαδή $x\in \overline{A}$. Άρα $X\subseteq \overline{A}$, δηλαδή $X=\overline{A}$.

Αντίστροφα, έστω ότι ισχύει $X=\overline{A}$. Θεωρούμε τυχόν $x\in X$ και τυχόν $\varepsilon>0$. Αν $x\in A$ τότε υπάρχει $y=x\in A$ ώστε $\rho(x,y)=0<\varepsilon$, οπότε υποθέτουμε ότι $x\not \in A$ (αλλά $x\in \overline{A}$). Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει $y\in A$ ώστε $\rho(x,y)<\varepsilon$. Έστω ότι δεν υπάρχει (για να καταλήξουμε σε άτοπο) τέτοιο $y$, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει $r>0$ ώστε η ανοιχτή μπάλα με κέντρο $x$ και ακτίνα $r$ δεν τέμνει καθόλου το $A$ ( $B(x,r)\cap A=\emptyset$), άρα $X\setminus B(x,r)$ είναι κλειστό υπερσύνολο του $A$, τότε όμως $\overline{A}\subset X\setminus B(x,r)$, άτοπο αφού $\overline{A}=X$.

Άρα $A$ είναι πυκνό σύνολο του $X$ $\Box$