Μετρικοί Χώροι

Ορισμός 1.1.1   Έστω Χ ένα σύνολο, μια συνάρτηση $\rho:X\times X\rightarrow [0,\infty]$ θα λέγεται μετρική αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες:

1. $\rho (x,x)=0 \ \hbox{για κάθε}\ x\in X$
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x) \ \hbox{για κάθε}\ x,y\in X$ (συμμετρία)
3. $\rho (x,y)\leq\rho (x,z) + \rho (z,y)\ \hbox{για κάθε}\ x,y,z\in X$ (τριγωνική ανισότητα)

Έπιπλέον το $X$ εφοδιασμένο με την μετρική $\rho$ θα λέγεται μετρικός χώρος και θα το συμβολίζουμε $(X,\rho)$ και εφόσον δεν υπάρχει πρόβλημα στο να μπερδέψουμε τις μετρικές θα γράφουμε μόνο $X$.

Μερικά παραδείγματα
Παράδειγμα: Στο $\mathbb{R}$ η συνήθης ή Ευκλείδεια μετρική ορίζεται να είναι η συνάρτηση:

$$\rho(x,y)=\sqrt{(x-y)^2}=\vert x-y\vert$$

όπου $x,y\in\mathbb{R}$

Το ότι η συνάρτηση $\rho$ είναι μετρική στο $\mathbb{R}$ φαίνεται άμεσα (αφού ισχύουν και οι τρεις συνθήκες του ορισμού).

Παράδειγμα: Στο $\mathbb{R}^2$ η συνήθης ή Ευκλείδεια μετρική ορίζεται να είναι η συνάρτηση:

$$\rho(x,y)=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2 +\left(x_2-y_2\right)^2}$$

όπου $x,y\in\mathbb{R}^2$, δηλαδή $x=(x_1,x_2)$ και $y=(y_1,y_2)$ με $x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb{R}$.

Παράδειγμα: Στο $\mathbb{R}^n$ η συνήθης ή Ευκλείδεια μετρική ορίζεται να είναι η συνάρτηση:

$$\rho(x,y)=\left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-y_i\right)^2 \right)^{1/2}$$

όπου $x,y\in\mathbb{R}^n$

Παράδειγμα: Αν $X$ είναι τυχόν μη κενό σύνολο, η συνάρτηση $\rho:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο

$$\rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\hbox{αν}\ x \neq y\\ 0, &\hbox{αν}\ x=y \end{array} \right.$$

είναι μετρική στο $\mathbb{R}$ και λέγεται διακριτή μετρική
Απόδειξη: Οι δύο πρώτες ιδιότητες της μετρικής προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό της $\rho$. Έτσι αρκεί να δείξουμε ότι για τυχόντα στοιχεία $x,y$ και $z$ του $X$ ισχύει

$$\rho (x,y) \leq \rho (x,z) + \rho(z,y)$$ (1.1)

Επειδή οι τιμές των αποστάσεων $\rho(x,y),\rho(x,z)$ και $\rho(z,y)$ είναι $0$ ή $1$, η μόνη περίπτωση όπου δεν θα ίσχυε η σχέση 1.1, θα ήταν η περίπτωση όπου $\rho(x,y)=1$ και $\rho(x,z)=\rho(z,y)=0$. Αλλά τότε, από τον ορισμό της $\rho$, θα είχαμε

$$\rho(x,y)=1\Leftrightarrow x\neq y$$

και ταυτόχρονα

$$\rho(x,z)=\rho(z,y)=0 \Leftrightarrow x=z=y$$

που είναι άτοπο. $\Box$

Μπορούμε να γενικεύσουμε την τριγωνική ανισότητα. Έστω $x_1,x_2,\ldots,x_n \in X$ όπου $(X,\rho)$ μετρικός χώρος και $n\geq 2$ τότε $\rho(x_1,x_n)\leq \rho(x_1,x_2)+\rho(x_2,x_3)+\cdots+\rho(x_{n-1},x_n)$.

Απόδειξη: Για $n=2$, ο ισχυρισμός ισχύει από τον ορισμό. Έστω ότι ισχύει για $n=k$, δηλαδή $\rho(x_1,x_k)\leq \rho(x_1,x_2)+\rho(x_2,x_3)+\cdots+\rho(x_{k-1},x_k)$. Βάσει μαθηματικής επαγωγής αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει για $n=k+1$. Κάτι που ισχύει αφού $\rho(x_1,x_k+1)\leq \rho(x_1,x_k)+\rho(x_{k},x_{k+1})\leq \rho(x_1,x_n)\leq \rho(x_1,x_2)+\rho(x_2,x_3)+\cdots+\rho(x_{k-1},x_k)+\rho(x_{k},x_{k+1})$. $\Box$