Μέτρο Hausdorff

Ορισμός 3.1.1   Έστω $X$ μετρικός χώρος. Έστω θετικός αριθμός $s$, υποψήφιος αριθμός για την διάσταση. Το $s$-διάστατο εξωτερικό μέτρο Hausdorff , συμβολισμός $\overline{\mathcal{H}}^{s}$, είναι το εξωτερικό μέτρο της Μεθόδου ΙΙ ορισμένο από την σύνολό συνάρτηση $C\left( A\right)=\left( \mathop{\operator@font diam}A\right)^s$.

Ας δούμε αναλυτικότερα τον ορισμό. Μια οικογένεια $\mathcal{A}$ υποσυνόλων του $X$, καλείται αριθμήσιμη κάλυψη του συνόλου $F$ αν και μόνο αν

$$F\subseteq\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A$$

και $\mathcal{A}$ είναι αριθμήσιμη (ενδεχομένως και πεπερασμένη) οικογένεια των συνόλων. Έστω $\varepsilon$ θετικός (πολύ μικρός). Η κάλυψη $\mathcal{A}$ λέγεται $\varepsilon$- κάλυψη αν και μόνο αν $\mathop{\operator@font diam}A\leq \varepsilon$ για όλα τα $Α\in\mathcal{A}$. Ορίζουμε

$$\overline{\mathcal{H}}^{s}_{\varepsilon}(F)=\inf \sum_{A\in\mathcal{A}}\left(\mathop{\operator@font diam}A\right)^{s}$$

όπου το κάτω πέρας ($\inf$) είναι πάνω απ'' όλες τις αριθμήσιμες $\varepsilon$-καλύψεις $\mathcal{A}$ του συνόλου $F$. Κατά συμφωνία $\inf \emptyset =\infty$, δηλαδή αν δεν υπάρχει καμία αριθμήσιμη $\epsilon$-κάλυψη $\mathcal{A}$ του $F$, τότε $\overline{\mathcal{H}}^{s}_{\varepsilon}(F)= \infty$.

Ένας απλός υπολογισμός δείχνει πως όταν το $\varepsilon$ μειώνεται, το $\overline{\mathcal{H}}^{s}_{\varepsilon}$ αυξάνεται. Τέλος

$$\overline{\mathcal{H}}^{s}(F)=\lim_{\varepsilon\rightarrow0... ...ilon>0} \overline{\mathcal{H}}^{s}_{\varepsilon}\left(F\right)$$

είναι το $s$-διάστατο εξωτερικό μέτρο Hausdorff του συνόλου $F$

Ο περιορισμός του $\overline{\mathcal{H}}^{s}$ σε μετρήσιμα υποσύνολα του $X$ είναι s-διάστατο μέτρο Hausdorff, και γράφεται $\mathcal{H}^{s}$.

Είναι ενδιαφέρον να δούμε την συμπεριφορά του $s$-διάστατου μέτρου Hausdorff συναρτήσει του $s$. Βάσει του επόμενου θεωρήματος μπορούμε να την ζωγραφίσουμε όπως στο σχήμα 3.1.

Θεώρημα 3.1.1   Έστω $F$ σύνολο Borel και έστω $0<s<t$, τότε εάν $\mathcal{H}^s(F)<\infty$ έχουμε ότι $\mathcal{H}^t(F)=0$ και εάν $\mathcal{H}^t(F)>0$ έχουμε ότι $\mathcal{H}^s(F)=\infty$.

Απόδειξη: Έστω ένα σύνολο $A$ με $\mathop{\operator@font diam}A\leq \varepsilon$ τότε αφού $t-s>0$, έχουμε ότι $\left(\mathop{\operator@font diam}A\right)^{t-s}\leq\varepsilon^{t-s}$, τότε όμως

$$\left(\mathop{\operator@font diam}A\right)^{t}=\left(\math... ...repsilon^{t-s}\left(\mathop{\operator@font diam}A\right)^{s}.$$ (3.1)

Κάθε $\varepsilon$-κάλυψη, $\mathcal{A}$ του συνόλου $F$ αποτελείται από κάποια τέτοια $A$, και

$$\overline{\mathcal{H}}^{t}_{\varepsilon}(F)=\inf\{\sum_{A\in \mathcal{A}}(\mathop{\operator@font diam}A)^t \}.$$

Από τον ορισμό όμως η κάλυψη $\mathcal{A}$ είναι αριθμήσιμη οπότε η ανισότητα 3.1 επάγει

$$\sum_{A\in\mathcal{A}}(\mathop{\operator@font diam}A)^{t}\l... ...t-s}\sum_{A\in\mathcal{A}}(\mathop{\operator@font diam}A)^{s}$$

για όλες τις αριθμήσιμες $\varepsilon$-καλύψεις $\mathcal{A}$ του συνόλου $A$. Άρα $\overline{\mathcal{H}}^{t}_{\varepsilon}\left(F\right) \leq\varepsilon^{t-s}\overline{\mathcal{H}}^{s}_{\varepsilon}\left(F\right)$ για όλα τα σύνολα $F$. Tώρα αν $\mathcal{H}^{s}\left(F\right)<\infty$, τότε $\mathcal{H}^{t}\left(F\right)\leq\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left(\varepsilo... ...thcal{H}}^{s}_{\varepsilon }(F)\right) =0\cdot \mathcal{H}^{s}\left(F\right)=0$ δηλαδή $\mathcal{H}^{t}\left(F\right)=0$ (αφού το μέτρο δεν μπορεί να είναι αρνητικό).

Για να αποδείξουμε την άλλη κατεύθυνση του θεωρήματος θα ακολουθήσουμε την ίδια λογική. Έχουμε $\mathop{\operator@font diam}A\leq\varepsilon \Rightarrow \left(\mathop{\operator@font diam}A\right)^{s-t}\geq\varepsilon^{s-t}$, αφού $s-t<0$. Τότε έχουμε

$$\left(\mathop{\operator@font diam} A\right)^{s}= \left(\ma... ...arepsilon^{s-t}\left(\mathop{\operator@font diam}A\right)^{t}$$

και $\overline{\mathcal{H}}^{s}_{\varepsilon}\left(F\right) \geq\varepsilon^{s-t}\overline{\mathcal{H}}^{t}_{\varepsilon}\left(F\right)$ για όλα τα σύνολα $F$. Tώρα αν $\mathcal{H}^{t}\left(F\right)>0$, τότε $\mathcal{H}^{s}\left(F\right)\geq\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left(\varepsilo... ...{t}_{\varepsilon }(F)\right) =\infty\cdot \mathcal{H}^{t}\left(F\right)=\infty$ δηλαδή $\mathcal{H}^{s}\left(F\right)=\infty$ $\Box$

Πρόταση 3.1.1   Αν $F$ είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, τότε το $s$-διάστατο μέτρο Hausdorff του είναι μηδέν για όλα τα $s>0$. $\mathcal{H}^s(F)=0$

Απόδειξη: Αφού το $F$ είναι πεπερασμένο σύνολο, μπορούμε να πάρουμε την κάλυψη $\mathcal{A}$ που να αποτελείται από πεπερασμένα το πλήθος μονοσύνολα, τα στοιχεία των οποίων είναι αυτά του συνόλου $F$. Τώρα η διάμετρος του μονοσυνόλου είναι μηδέν, άρα $\sum_{A\in\mathcal{A}} 0^s=0$. Επιπλέον, έχοντας ορίσει το μέτρο ως μη αρνητική συνάρτηση και εφόσον θέλουμε το κάτω πέρας συνεπάγεται $\mathcal{H}(F)^s=0$ για όλα τα $s>0$ $\Box$

Ας δούμε μερικά παραδείγματα του μέτρου Hausdorff . Έστω $s=0$. Είναι αντιληπτό ότι το μηδέν-διάστατο μέτρο Hausdorff ενός συνόλου στην ουσία μας λέει από πόσα στοιχεία αποτελείται το σύνολο.

$$\mathcal{H}^0(A)=\ \hbox{πληθάριθμος του}\ A$$

Στην συνέχεια, έστω $s=1$. Το μονο-διάστατο μέτρο Hausdorff ερμηνεύεται ως γενικευμένο μέτρο που μετράει μήκος, οπως έχουμε πει και για το μέτρο Lebesgue στο $\mathbb{R}$. Για τη ακρίβεια

Θεώρημα 3.1.2   Το μέτρο Lebesgue ταυτίζεται με το μονο-διάστατο μέτρο Hausdorff $\mathcal{H}^1$ στο $\mathbb{R}$.

Απόδειξη: Έστω σύνολο $Β\subseteq \mathbb{R}$. Είναι φανερό ότι για $\varepsilon>0$ το σύνολο

$$C=\{\sum_{i\in \mathbb{N}}\mathop{\operator@font diam}[a_i,b_... ...b_i-a_i)\leq\varepsilon \ \hbox{για κάθε}\ i\in\mathbb{N}\}$$

είναι υποσύνολο του συνόλου

$$D=\{\sum_{A_j\in\mathcal{A}} \mathop{\operator@font diam}A_j... ...m}A_j\leq\varepsilon\ \ \hbox{για όλα}\ A_j\in\mathcal{A}\}$$

Βάσει του ορισμού το κάτω πέρας του συνόλου $C$ είναι το εξωτερικό μέτρο Lebesgue του συνόλου $B$, όπως και $\mathcal{\overline{H}}^1_{\varepsilon}(B)=\inf D$, επειδή όμως για κάθε $\epsilon >0$, $C\subset D$ έχουμε ότι $\mathcal{\overline{L}}(B)\geq\mathcal{\overline{H}}^1_{\varepsilon}(B)$. Οπότε και $\mathcal{\overline{L}}(B)\geq\mathcal{\overline{H}}^1(B)$.

Τώρα, έστω ότι σύνολο $A\subset\mathbb{R}$ έχει πεπερασμένη διάμετρο $r$, τότε $\sup A- \inf A=\mathop{\operator@font diam}A=r$, άρα το $A$ περιέχεται σ'' ένα κλειστό διαστημα $I$ μήκους $r$ και ισχύει $\mathcal{\overline{L}} (A)\leq\mathcal{\overline{L}}(I)=r$. Από την σ-υποπροσθετικότητα του εξωτερικού μέτρου Lebesgue , έχουμε $\mathcal{\overline{L}}(\cup A_j)\leq \sum \mathcal{\overline{L}}(A_j)\leq \sum \mathop{\operator@font diam}A_j$, αυτό ισχύει για όλες τις οικογένειες με σύνολα διαμέτρου μικρότερο από το $\varepsilon$. Από την μονοτονία του μέτρου έχουμε,

$$B\subseteq\cup A_j\Rightarrow \mathcal{\overline{L}}(B)\leq \mathcal{\overline{L}}(\cup A_j)$$

Άρα $\mathcal{\overline{L}}(B)\leq\mathcal{\overline{H}}^1(B)$.

Δείξαμε ότι τα δύο εξωτερικά μέτρα $\mathcal{\overline{L}}$ και $\mathcal{\overline{H}}^1$ ταυτίζονται. Οπότε ο περιορισμός τους σε μετρήσιμα σύνολα (με την έννοια του Καραθεοδωρή) ταυτίζεται επίσης. $\Box$

Πιο γενικά το δισδιάστατο μέτρο Hausdorff εκφράζει εμβαδό μιας λείας επιφάνειας πολλαπλασιαζμένο με $4/\pi$, ενώ το τριςδιάστατο μέτρο Hausdorff εκφράζει τον όγκο ενός χώρου επί $6/\pi$.

Υπάρχει μια σχέση που συνδέει το μέτρο Hausdorff με το μέτρο Lebesgue. Στο $\mathbb{R}^n$ για $s=n$ ισχύει

$$\mathcal{H}^n=2^n a(n)^{-1} \mathcal{L}^n$$

όπου $a$ είναι μια σταθερά.