Συμπάγεια

Ορισμός 1.5.1   Μια κάλυψη (ένα κάλυμμα) $\mathcal{K}$ ενός συνόλου $X$ είναι μια συλλογή συνόλων $\mathcal{K}$ ώστε $X\subseteq \bigcup\mathcal{K}$.

Ορισμός 1.5.2   Έστω $A$ ένα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου $X$. Μια κάλυψη $\mathcal{K}$ του $A$ ονομάζεται ανοιχτή ή κλειστή στον $X$ αν καθε στοιχείο $B\in\mathcal{K}$ είναι ανοιχτό ή κλειστό αντίστοιχα υποσύνολα του $X$.

Ορισμός 1.5.3   Αν $\mathcal{K}$ είναι κάλυψη του μετρικού χώρου $X$, το υποσύνολο $\mathcal{C}$ του $\mathcal{K}$ λέγεται υποκάλυψη, αν η ένωση των στοιχείων της είναι ίση με τον $X$, δηλαδή αν το $\mathcal{C}$ αποτελεί από μόνο του κάλυψη του $X$

Ορισμός 1.5.4   Ένας μετρικός χώρος $X$ λέγεται συμπαγής μετρικός χώρος αν κάθε ανοιχτή κάλυψη του έχει πεπερασμένη υποκάλυψη

Ορισμός 1.5.5   Έστω $A$ ένα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου $(X,\rho)$. Η διάμετρος του $A,\, \mathop{\operator@font diam}(A)$, ορίζουμε να είναι

$$\mathop{\operator@font diam}(A)=\sup\{\rho(x,y)\ \hbox{ώστε} \ (x,y)\in A\times A\}$$

Θεώρημα 1.5.1   Για $a,b\in\mathbb{R}$, ο υπόχωρος $Y=[a,b]$ του $\mathbb{R}$ συμπαγής.

Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι $a<b$ (σε αντίθετη περίπτωση $Y=\emptyset$ ή $Y={a}$ οπότε ο $Y$ συμπαγής ως πεπερασμένος).

Θεωρώ ένα ανοιχτό κάλυμμα $\mathcal{K}$ του $Y$. Υπάρχει ένα $G_0\in\mathcal{K}$ με $a\in G_0$. Τώρα το $G_0$ είναι ανοιχτό σύνολο του $Y$, δηλαδή υπάρχει $\varepsilon_0>0$ ώστε $B_Y (a,\varepsilon_0)\subset G_0$. Ισχύει ότι

$$[a,a+\varepsilon_0)\subset B_Y (a,\varepsilon_0)\subset G_0$$ (1.8)

Θέτω $A=\{x\in [a,b] \ \hbox{ώστε}\ [a,x]$ να περιέχεται στην ένωση μιας πεπερασμένης υποοικογένειας του $\mathcal{K} \} =\{x\in [a,b] \ \hbox{ώστε υπάρχουν}\ G_1,G_2,\ldots,G_k\in\mat... ...\in\mathbb{N} \ \hbox{τέτοια ώστε}\ [a,x]\subset G_1\cup G_2\cup\cdots G_k \}$

Από την (1.8) $\Rightarrow a+\varepsilon_0 / 2 \in A$ και το $A$ έχει το $b$ ως άνω φράγμα. Άρα υπάρχει $c=\sup A$, μάλιστα $a<a+\varepsilon_0 / 2 \leq c\leq b$

Εφόσον $c\in Y$, υπάρχει $G_{\mu}\in\mathcal{K}$ ώστε $c\in G_{\mu}$. Αφού όμως το $G_{\mu}$ είναι ανοιχτό σύνολο, υπάρχει $\delta>0$ ώστε

$$B_Y (c,\delta)\subset G_{\mu}$$ (1.9)

Μπορούμε να πάρουμε $\delta<c-a$. Ας υποθέσουμε ότι $c<b$, τότε υποθέτουμε ότι $\delta \leq \min\{b-c,c-a\}.$

Από την (1.9) $\Rightarrow (c-\delta,c+\delta)\subset G_{\mu}$. Αφού $c=\sup A$ υπάρχει $x\in A$ με $c-\delta<x\leq c$. Όμως $x\in A\Rightarrow$ υπάρχουν $G_1,G_2,\dots,G_n \in \mathcal{K}$ ώστε $[a,x] \subset G_1\cup G_2\cup\cdots G_n \Rightarrow [a,c+\delta / 2] \subset G_1\cup G_2 \cup\cdots G_n\cup G_{\mu}\Rightarrow c+\delta / 2 \in A$, άτοπο αφού $c+\delta / 2>c=\sup A$. Συμπέρασμα $c=b$.

Υπάρχει δηλαδή $x\in A$ με $b-\delta<x<b$ (αφού $b=\sup A$). Άρα υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός μελών του $\mathcal{K}$, έστω $G_1,G_2,\ldots,G_m$ έτσι ώστε $[a,x]\subset G_1\cup G_2\cup\cdots G_m$.

Από την (1.9) $\Rightarrow (b-\delta,b)\subset G_{\mu}$ άρα $Y=[a,b]\subset G_1\cup G_2\cup\cdots G_m \cup G_{\mu}\Rightarrow Y\subseteq G_1\cup G_2\cup\cdots G_{\mu}$, άρα ο $Y$ είναι συμπαγής. $\Box$

Ορισμός 1.5.6   Ένας μετρικός χώρος $(X,\rho)$ λέγεται φραγμένος αν υπάρχει θετικό $a\in \mathbb{R}^+$ ώστε $\rho(x,y)\leq a$ για κάθε $x,y\in X$

Παράδειγμα: Ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ είναι φραγμένος με το φράγμα να είναι $a=\max\{\rho(x_i,x_j)\ \hbox{όπου}\ 1\leq i,j \leq n\}$. Ένω ο μετρικός χώρος $(\mathbb{R},\rho)$, όπου $\rho$ είναι συνήθης μετρική, δεν είναι φραγμένος.

Πρόταση 1.5.1   Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος και $x_0\in X$.Τότε ο $X$ είναι φραγμένος μετρικός χώρος αν και μόνο αν $X\subset B(x_0,b)$ για κάποιο $b>0$.

Απόδειξη: Έστω ότι ο $X$ είναι φραγμένος, δηλαδή υπάρχει $a>0$ ώστε $\rho(x,y)\leq a$ για κάθε $x,y\in X$. Ισχύει $\rho(x,x_0)\leq a$, ενώ εμείς θέλουμε $\rho(x,x_0)<b$. Αν πάρουμε $b=a+1$, έχουμε το ζητούμενο $x\in X\Rightarrow \rho(x,x_0)\leq a<b\Rightarrow x\in B(x_0,b)$. Δηλαδή $X\subset B(x_0,b)$.

Έστω ότι $X\subset B(x_0,b)$ αυτό σημαίνει ότι για $x,y \in X\Rightarrow x,y\in B(x_0,b)\Rightarrow \rho(x_0,x)<b$ και $\rho(x_0,y)$ από τριγωνική ανισότητα έχουμε $\rho(x,y)\leq \rho(x,x_0)+\rho(x_0,y)<2 b$ για όλα $x,y\in X$ άρα ο $X$ φραγμένος. $\Box$

Θεώρημα 1.5.2   Ένας συμπαγής χώρος $(X,\rho)$ είναι φραγμένος.

Απόδειξη: Αν $X=\emptyset$ τότε είναι ήδη φραγμένος, οπότε υποθέτουμε ότι $X$ δεν είναι κενός, δηλαδή υπάρχει ένα $x_0\in X$. Τώρα $\cup_{n\in\mathbb{N}}B(x_0,n)=X$. Έστω $x\in X$, τώρα $\rho(x,x_0)\in \mathbb{R}$, άρα υπάρχει $m\in \mathbb{N}$ με $\rho(x,x_0)<m\Rightarrow x\in B(x_0,m) \Rightarrow x\in\cup_{n\in\mathbb{N}} B(x_0,n)$. Το αντίστροφο είναι προφανές (γιατί κάθε μπάλα είναι υποσύνολο του $X$)

Έστω $\{ B(x_0,n) \ \hbox{ώστε}\ n\in\mathbb{N}\}$ είναι ανοιχτό κάλυμμα του $X$. Αφού $X$ είναι συμπαγής υπάρχουν $n_1,n_2,\ldots,n_k \in\mathbb{N}$ ώστε $X=B(x_0,n_1)\cup B(x_0,n_2)\cup\cdots B(x_0,n_k)\subset B(x_0,a)$ όπου $a=\min \{n_1,n_2,\ldots,n_k\}$. Άρα ο $X$ είναι φραγμένος. $\Box$

Θεώρημα 1.5.3   Ένας κλειστός υπόχωρος $Y$ ενός συμπαγή χώρου $X$ είναι συμπαγής.

Απόδειξη: Θεωρώ ανοιχτό κάλυμμα $\mathcal{K}=\{H_{\lambda} \ \hbox{ώστε}\ \lambda \in J\}$ του $Y$. Για κάθε $\lambda\in J$, $H_{\lambda}$ είναι ανοιχτό σύνολο του $Y$ άρα $H_\lambda =G_{\lambda} \cap Y$ για κάποιο ανοιχτό $G_{\lambda}$ του $X$. $\mathcal{K}$ κάλυμμα του $Y\Rightarrow \cup_{\lambda\in J}h_{\lambda}=Y\Rightarrow Y\subset \cup_{\lambda\in J}G_{\lambda}$. Τώρα $G=X\setminus Y$ είναι ανοιχτό του $X$ και $G$ μαζί με όλα τα $G_{\lambda}$ αποτελούν ανοιχτό κάλυμμα του $X$ ο οποίος είναι συμπαγής. Άρα υπάρχουν $\lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_k \in J$ ώστε $X\subset G \cup G_{\lambda_1}\cup \cdots G_{\lambda_k}$. Τέμνοντας στην συνέχεια το $Y$ έχουμε $Y=(Y\cap G)\cup (Y\cap G_{\lambda_1})\cup\cdots (Y\cap G_{\lambda_k})=H_{\lambda_1}\cup Η_{\lambda_2}\cup\cdots H_{\lambda_k}\Rightarrow Y$ είναι συμπαγής μετρικός χώρος. $\Box$

Παράδειγμα: $Y=\{0,1,1 / 2,1 /3,\ldots\}$ είναι κλειστό του $X=[0,1]$ άρα $Y$ είναι συμπαγής υπόχωρος του συμπάγη χώρου $X$ του μετρικού χώρου $(\mathbb{R},\rho)$, όπου $\rho$ συνήθης μετρική.

Θεώρημα 1.5.4   Έστω $Y$ συμπαγής υπόχωρος του $X$. Τότε το $Y$ είναι κλειστό υποσύνολο του $X$.

Απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι ο $Z=X\setminus Y$ είναι ανοιχτός στον $X$. Έστω $z\in Z$. Αρκεί να βρω $\varepsilon>0$ ώστε $B(z,\varepsilon)\subset Z$. Για κάθε $y\in Y$ το $\rho(y,z)>0$ αφού $y\neq z$. Θέτω $\varepsilon_y=1/ 2 \rho(y,z)>0$ τότε

$$B(z,\varepsilon_y)\cap B(y,\varepsilon_y)=\emptyset.$$ (1.10)

$B_Y(y,n)=Y\cap B(y,n) \Rightarrow \cup_{y\in Y}B_Y(y,\varepsilon_y)=Y$ άρα $\{B_Y(y,\varepsilon_y) \ \hbox{ώστε}\ y\in Y \}$ αποτελούν ανοιχτό κάλυμμα του συμπαγή χώρου $Y$.

Αρά υπάρχουν $y_1,y_2,\dots,y_k \in Y$ ώστε $Y=B_Y(y,\varepsilon_{y_1})\cup B_Y(y,\varepsilon_{y_2})\cup B_Y(y,\varepsilon_{y_k})\Rightarrow$

$$Y\subset B(y,\varepsilon_{y_1})\cup B(y,\varepsilon_{y_2})\cup B(y,\varepsilon_{y_k})$$ (1.11)

Θέτουμε $\varepsilon=\min \{\varepsilon_{y_1},\varepsilon_{y_2},\ldots,\varepsilon_{y_k}\}$ $B(z,\varepsilon)\cap B(y_1,\varepsilon_{y_1})\subset B(z,\varepsilon_{y_1})\cap B(y_1,\varepsilon_{y_1})= \emptyset$ από την (1.10). Τέμνουμε την (1.10) με $B(z,\varepsilon)$ και έχουμε $B(z,\varepsilon)\cap Y \subset (B(z,\varepsilon)\cap B(y_1,\varepsilon_{y_1})... ...n)\cap B(y_k,\varepsilon_{y_k}))=\emptyset \cup \emptyset \cup\cdots \emptyset$ άρα $B(z,\varepsilon)\cap Y=\emptyset \Rightarrow B(z,\varepsilon)\subset Z=X\setminus Y$. $\Box$

Βάσει της άρνησης ισχύει το παρακάτω πόρισμα.

Πόρισμα 1.5.1   Ένα σύνολο $Y$ που δεν είναι κλειστό στο $X \Rightarrow$ το $Y$ δεν είναι συμπαγής.

Παράδειγμα: Τα σύνολα (μετρικοί χώροι) $(0,1),\{1,1/2,1/3,\ldots\},(-1,0],[3,10)$ δεν είναι κλειστά στο $\mathbb{R}$ άρα δεν είναι συμπαγείς υπόχωροι (του $\mathbb{R}$). Παρατηρούμε ότι το δεύτερο σύνολο γίνεται συμπαγής αν προστεθεί το στοιχείο μηδέν.

Θεώρημα 1.5.5   Έστω $Y$ κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}$. Τότε κάθε ανοιχτή κάλυψη του $Y$ έχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλαδή το $Y$ είναι συμπαγής.

Απόδειξη: Έστω $Y$ κλειστό και φραγμένο σύνολο στο $\mathbb{R}$. Αν $Y=\emptyset$ τότε είναι συμπαγής. Μπορούμε επομένως να υποθέσουμε ότι υπάρχει $y_0\in Y$. Αφού το $Y$ είναι φραγμένο, ισχύει $Y\subset C_Y (y_0,\varepsilon)$ για κάποιο $\varepsilon>0$, όμως $C_Y(y_0,\varepsilon)\subseteq [y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon ]$. Τώρα $X=[y_0-\varepsilon, y_0+\varepsilon]$ είναι συμπαγές σύνολο, από το θεώρημα 1.5.1. Τέλος από το θεώρημα 1.5.3 ο $Y$ είναι κλειστός υπόχωρος συμπαγούς χώρου $X\Rightarrow Y$ είναι συμπαγής.

Έστω ότι ο χώρος $Y$ είναι συμπαγής. Τότε από το θεώρημα 1.5.2, είναι φραγμένος. Επίσης από το θεώρημα 1.5.4, είναι και κλειστός. $\Box$

Στην συνέχεια θα ορίσουμε σύνολα Cantor στο $\mathbb{R}$, τα όποια θα τα χρησιμοποιούμε σε πολλά παραδείγματα στο κεφάλαιο 3. Όπως θα δούμε αργότερα, τα σύνολα Cantor είναι σύνολα κλασματικής διάστασης.

Έστω $0<\lambda<1/2$. Ορίζουμε $I_{0,1}=[0,1]$ και έστω $I_{1,1}=[0,\lambda]$ και $I_{1,2}=[1-\lambda,1]$. Συνεχίζουμε την διαδικασία διαλέγοντας υποδιαστήματα από κάθε διάστημα που έχουμε ήδη φτιάξει. Για παράδειγμα, αν έχουμε ορίσει τα διαστήματα $I_{k-1,1},I_{k-1,2}, \ldots,I_{k-1,2^{k-1}}$, τότε στο επόμενο βήμα ορίζουμε $I_{k,1},I_{k,2},\ldots,I_{k,2^k}$, διαγράφοντας από την μέση κάθε διαστήματος $I_{k-1,j}$ ένα διάστημα μήκους $(1-2\lambda)\mathop{\operator@font diam}I_{k-1,j}= (1-2\lambda)\lambda_{k-1}$. Έτσι κάθε διάστημα $I_{k,j}$ που παράγεται έχει μήκος $\lambda^k$, βλέπε σχήμα 1.1.

Ορισμός 1.5.7   Η οριακή κατάσταση της παραπάνω κατασκευής είναι το σύνολο Cantor με λόγο $\lambda$

$$C(\lambda) =\bigcap_{k=0}^{\infty}\bigcup_{j=1}^{2^k} I_{k,j}$$

Figure: Κατασκευή του συνόλου Cantor με λόγο $\lambda =\frac{1}{4}$.

Το περισσότερο διαδεδομένο σύνολο Cantor είναι το τριαδικό, $C(1/3)$

Παράδειγμα: Κάθε σύνολο Cantor με λόγο $0<\lambda<1/2$ είναι συμπαγές.
Απόδειξη: Το σύνολο Cantor είναι φραγμένο από $0$ και $1$. Είναι επίσης και κλειστό ως άπειρη τομή κλειστών συνόλων. Από το θεώρημα 1.5.5 έπεται ότι το σύνολο Cantor είναι συμπαγές. $\Box$

Οι συνεχείς συναρτήσεις μεταφέρουν την συμπάγεια, όπως συμβαίνει και με την συνεκτικότητα. Η συμπάγεια είναι τοπολογική ιδιότητα.

Θεώρημα 1.5.6   Έστω $f: X\rightarrow Y$ συνεχής συνάρτηση. Έστω ότι η $f$ είναι επί του $X$ και ο $X$ είναι συμπαγής. Τότε ο $Y$ είναι συμπαγής.

Απόδειξη: Έστω $\mathcal{K}=\{G_{\lambda}\ \hbox{όπου}\ \lambda \in L\}$ είναι ανοιχτή κάλυψη του $Y$. Για κάθε $\lambda\in L$ το σύνολο $H_{\lambda}=f^{-1}[G_{\lambda}]$ είναι ανοιχτό του $X$, αφού η $f$ είναι συνεχής. Επίσης $\cup_{\lambda\in L}G_{\lambda}=Y$. Άρα $X=f^{-1}[Y]=\cup_{\lambda \in L}f^{-1}[G_{\lambda}]$. Έτσι το $\{H_{\lambda} \hbox{όπου} \ \lambda\in L\}$ είναι ανοιχτή κάλυψη του $X$. Ο $X$ όμως είναι συμπαγής, άρα υπάρχουν $\lambda_1,\ldots,\lambda_k \in L$ με $X=H_{\lambda_1}\cup\cdots\cup H_{\lambda_k}\Rightarrow f[X]=f[H_{\lambda_1}]\cup\cdots\cup f[H_{\lambda_k}]$. Τώρα, αφού η $f$ είναι επί του $Y$ ισχύει $f[X]=Y$, άρα έχουμε $Y=f^{-1}[H_{\lambda_1}]\cup\cdots\cup f^{-1}[H_{\lambda_k}]=f[f^{-1}[G_{\lambda_1}]]\cup\cdots\cup f[f^{-1}[G_{\lambda_k}]]=G_{}\cup\cdots\cup G_{}$.

Άρα ο $Y$ είναι συμπαγής. $\Box$

Πόρισμα 1.5.2   Έστω $f: X\rightarrow Y$ είναι συνεχής συνάρτηση, όπου $X$ είναι συμπαγής μετρικός χώρος. Τότε ο υπόχωρος $f[X]$ του $Y$ είναι συμπαγής

Πόρισμα 1.5.3   Έστω ο $X$ συμπαγής, μη κενός μετρικός χώρος. Έστω η $f:X\rightarrow R$ μια συνεχής συνάρτηση. Τότε η $f$ είναι φραγμένη και λαμβάνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή.

Απόδειξη: Το σύνολο $f[X]$ είναι συμπαγής υπόχωρος του $\mathbb{R}$, από το πόρισμα 1.5.2. Άρα το $f[X]$ είναι κλειστό και φραγμένο σύνολο. Εφόσον το $X$ είναι μη κενό, θα έχει άνω και κάτω φράγμα, δηλαδή θα υπάρχει $a=\inf\{f[X]\}$ και $b=\sup\{f[X]\}$ όπου $a,b\in\mathbb{R}$. Τώρα για κάθε $n\in\mathbb{N}$ έχουμε $a<a+1/n$ συνεπάγεται ότι υπάρχει $y_n\in f[X]$ με $a<y_n<a+1/n$ (ορισμός του κάτω πέρατος). Τότε $y_n\rightarrow a$. Επειδή $y_n\in f[X]$ έχουμε $a\in f[X]$, αφού το $f[X]$ είναι κλειστό. Άρα για κάποιο $x_1\in X$ έχουμε $f(x_1)=a$. Τώρα για κάθε $x\in X$ έχουμε $f(x)\in f[X])$. Δηλαδή $f(x_1)\leq f(x_2)$ για κάθε $x\in X$, άρα η $f$ έχει ελάχιστη τιμή $f(x_1)$

Ομοίως αποδεικνύουμε για μέγιστή τιμή. $\Box$

Ορισμός 1.5.8   Έστω $X$ μετρικός χώρος. Ο $X$ λέγεται ακολουθιακά συμπαγής αν κάθε ακολουθία του έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

Ορισμός 1.5.9   Έστω $X$ μετρικός χώρος. Ο $X$ έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass αν κάθε άπειρο υποσύνολο $A$ του $X$ έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης, ή ισοδύναμα αν το παράγωγο σύνολο του $A$ είναι μη κενό ( $A'\neq \emptyset$)

Θεώρημα 1.5.7   Θεώρημα Lebesgue
Έστω $(X,\rho)$ ακολουθιακά συμπαγής μετρικός χώρος. Έστω $\mathcal{K}$ είναι μια ανοιχτή κάλυψη του $X$. Τότε υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε για κάθε $x\in X$, η ανοιχτή μπάλα $B(x,\varepsilon)$ να περιέχεται σε κάποιο από τα στοιχεία της $\mathcal{K}$.

Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει τέτοιο $\varepsilon$ (για να καταλήξουμε σε άτοπο). Τότε για κάθε $n\in\mathbb{N}$ το $1/n$ δεν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή υπάρχει $x_n\in X$ ώστε $B(x_n,1/n)$ δεν περιέχεται σε κανένα από τα στοιχεία της $\mathcal{K}$.

Αφού ο $X$ είναι ακολουθιακά συμπαγής, υπάρχει μια υπακολουθία $x_{n_k}$ της $x_n$ η οποία συγκλίνει σε κάποιο σημείο $x_0\in X$. Εφόσον η $\mathcal{K}$ είναι ανοιχτή κάλυψη, υπάρχει $G_0\in\mathcal{K}$ ώστε $x_0\in G_0$. Αφού $G_0$ ανοιχτό, υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε $B(x_0,\varepsilon)\subset G_0$. Επιπλέον $x_0$ είναι όριο της ακολουθίας $x_{n_k}$, άρα από κάποιο $m$ και μετά όλα τα στοιχεία της $x_{n_k}$ θα βρίσκονται στην ανοιχτή μπάλα $B(x_0,\varepsilon/2)$, δηλαδή

$$x_{n_m},x_{n_{m+1}},\ldots \in B(x_0,\varepsilon/2)$$

Άρα υπάρχει κάποιο $k>m$ (πολύ μεγάλο) με $1/n_k<\varepsilon/2$ και $x_{n_k}\in B(x_0,\varepsilon/2)$. Τώρα $x\in B(x_{n_k}, 1/n_k) \Rightarrow \rho(x,x_{n_k})<1/n_k<\varepsilon/2$ και από τριγωνική ανισότητα $\rho(x,x_0)\leq \rho(x,x_0)+\rho(x_{n_k},x_0)<\varepsilon$ δηλαδή $B(x_{n_k},1/n_k)\subset B(x_0,\varepsilon)\subset G_0\in \mathcal{K}$ που είναι άτοπο. $\Box$

Θεώρημα 1.5.8   Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

1. ο $X$ είναι συμπαγής
2. ο $X$ έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass
3. ο $X$ είναι ακολουθιακά συμπαγής

Απόδειξη: $(1)\Rightarrow (2)$. Έστω $A$ άπειρο υποσύνολο του $X$. Αρκεί να δείξουμε ότι $A'\neq \emptyset$. Υποθέτουμε ότι $A'=\emptyset$ (για να καταλήξουμε σε άτοπο). Αφού το $A$ είναι άπειρο, το $A$ περιέχει διακεκριμένα σημεία $x_1,x_2,\ldots$. Τώρα $B=\{x_1,x_2,\ldots\}\subset A$, άρα $B'\subset A'=\emptyset$, δηλαδή το παράγωγο του $B$ είναι κενό, συμπεραίνουμε επίσης ότι το $B$ είναι κλειστό αφού $B=B'\cup\overline{B}$. Επίσης από την υπόθεση έχουμε ότι ο $X$ είναι συμπαγής. Από το θεώρημα 1.5.3 ο $B$ είναι και αυτός συμπαγής υπόχωρος του $X$.

Τώρα κάθε μονοσύνολο $\{x_1\},\{x_2\},\ldots\in B$ είναι ανοιχτό υποσύνολο του $B$ και $\{\{x_1\},\{x_2\},\ldots\}$ είναι ανοιχτή κάλυψη του $B$, η οποία δεν έχει πεπερασμένη ανοιχτή υποκάλυψη, γιατι τα $\cap\{x_i\}=\emptyset$, άρα ο $B$ δεν είναι συμπαγής, που είναι άτοπο, άρα $A'\neq \emptyset$ και ο $X$ έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass.

$(2)\Rightarrow (3)$ Έστω τώρα ότι ο $X$ έχει την ιδιότητα Bolzano - Weirstrass. Θεωρούμε την ακολουθία $x_n\in X$, θέλουμε να δείξουμε ότι η $x_n$ έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

Ας εξετάσουμε το σύνολο

$$A=\{x_1,x_2,\dots\}.$$

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις, είτε το $A$ είναι πεπερασμένο, είτε αριθμήσιμο άπειρο.

Αν το $A$ έχει πεπερασμένο το πλήθος στοιχείων, δηλαδή $A=\{y_1,\ldots,y_k\}$. Θέτουμε $N_i=\{n\in \mathbb{N} \ \hbox{ώστε}\ x_n=y_i\}$ τότε $\cup_{i=1}^{k}N_i=\mathbb{N}$. Τουλάχιστον ένα από τα $N_1,\ldots,N_k$ είναι αριθμήσιμα άπειρο. Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $N_i$ έχει άπειρα στοιχεία $N_i=\{n_1,n_2,\ldots\}$ όπου $1\leq n_1<n_2<\ldots$. Για κάθε $n_k\in N_i,\ x_{n_k}=y_i$, άρα $x_{n_k}\rightarrow y_i$. Οπότε υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία της $x_n$ που έχει όριο στο $X$.

Αν τώρα $A$ έχει αριθμήσιμο άπειρο το πλήθος στοιχείων, από τον ορισμό της ιδιότητας Bolzano - Weierstrass, έχουμε ότι $A'\neq \emptyset$. Άρα υπάρχει $x\in A'$. Κατασκευάζουμε στην συνέχεια την υπακολουθία μας

$$B(x,1)\cup A \ \hbox{είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα}\ x_{n_1}\in B(x,1)$$

$$B(x,\frac{1}{2})\cup A \ \hbox{είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα}\ x_{n_2}\in B(x,\frac{1}{2})$$

$$\centerline{\vdots}$$

$$B(x,\frac{1}{k})\cup A \ \hbox{είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα}\ x_{n_k}\in B(x,\frac{1}{k})$$

Τώρα $x_{n_k}$ είναι υπακολουθία της $x_n$ και $\rho(x,x_{n_k})<1/k$, άρα $x_{n_k}\rightarrow x$.

$(3)\Rightarrow (1)$ Έστω τώρα $X$ ακολουθιακά συμπαγής, θέλουμε να δείξουμε ότι είναι συμπαγής. Θεωρούμε ανοιχτή κάληψη $\mathcal{K}$ του $X$. Υποθέτουμε ότι η $\mathcal{K}$ δεν έχει πεπερασμένη υποκάλυψη (για να καταλήξουμε σε άτοπο).

Από το θεώρημα 1.5.7 υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε $B(x,\varepsilon)$ να περιέχεται σε κάποιο μέλος της $\mathcal{K}$ για κάθε $x\in X$. Οπότε υπάρχει $x_1\in X$ και $G_1\in\mathcal{K}$ με $B(x_1,\varepsilon_1)\subset G_1$, υπάρχει επίσης $x_2\in X\setminus G_1$ και $G_2\in \mathcal{K}$ ώστε $B(x_2,\varepsilon_2)\subset G_2$. Τώρα έχουμε θεωρήσει πως $\mathcal{K}$ δεν έχει πεπερασμένη υπόκαλυψη, άρα $G_1\cup G_2\neq X$. Άρα υπάρχει $x_3\in X\setminus G_1\cup G_2$ και $G_3\in \mathcal{K}$ με $B(x_3,\varepsilon_3)\subset G_3$. Συνεχίζουμε έτσι και κατασκευάζουμε την ακολουθία $x_1,x_2,\ldots$, με $x_n\not\in G_1\cup\cdots\cup G_{n-1}$και να υπάρχει σύνολο $G_n\in \mathcal{K}$ ώστε $B(x_n,\varepsilon_n)\subset G_n$.

Έτσι για τυχόντα $m\neq n$ ισχύει

$$\rho(x_m,x_n)>\varepsilon$$ (1.12)

Εφόσον ο χώρος $X$ είναι ακολουθιακά συμπαγής υπάρχει υπακολουθία $x_{n_k}$ της $x_n$ που συγκλίνει σε σημείο $x_0\in X$. Αφού $x_{n_k}\rightarrow x_0$ μπορούμε να συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο υπακολουθίες $x_{n_{k_1}}$ και $x_{n_{k_2}}$ με $\rho(x_{n_{k_1}},x_0)<\varepsilon/2$ και $\rho(x_{n_{k_2}},x_0)<\varepsilon/2$. Τότε από τριγωνική ανισότητα έχουμε $\rho(x_{n_{k1}},x_{n_{k_2}})\leq \varepsilon/2 +\varepsilon/2=\varepsilon$ που αντιφάσκει με την 1.12. Άτοπο. $\Box$

Θεώρημα 1.5.9   Έστω $(X,\rho_1)$ και $(Y,\rho_2)$ είναι μετρικοί χώροι. Έστω ότι ο $X$ είναι συμπαγής χώρος. Τότε κάθε συνεχής συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Απόδειξη: Έστω $\varepsilon>0$ θέλουμε $\delta>0$ ώστε $\rho_1(x,y)<\delta\Rightarrow \rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon$. Θεωρούμε όλες τις μπάλες $B(y,\varepsilon/2)$ του $Y,\ y\in Y$. Τότε $f^{-1}[B(y,\varepsilon/2)]$ είναι ανοιχτό του $X$, γιατί η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση.

Τώρα $\mathcal{K}=\{f^{-1}[B(y,\varepsilon/2)]\ \hbox{όπου}\ y\in Y\}$ είναι ανοιχτή κάλυψη του συμπαγούς $X$. Από το θεώρημα 1.5.7 υπάρχει $\delta>0$ ώστε για κάθε $x\in X$ η μπάλα $B(x,\delta)$ να περιέχεται σε κάποιο στοιχείο της $\mathcal{K}$. Έστω ότι $\rho_1(x_1,x_2)<\delta$, τότε $x_2\in B(x_1,\delta)\Rightarrow B(x_1,\delta)\subset f^{-1}[B(y,\varepsilon/2)]$ για κάποιο $y\in Y$. Αφού $x_1,x_2 \in B(x_1,\delta)\Rightarrow f(x_1),f(x_2)\in B(y,\varepsilon/2)$ και από τριγωνική ανισότητα $\rho_1(f(x_1),f(x_2)) \leq\rho_2(f(x_1),y)+\rho_2(f(x_2),y)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$. Άρα αν $\rho_1(x_1,x_2)<\delta\Rightarrow \rho_2(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$.

Άρα η $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής. $\Box$

Θεώρημα 1.5.10   Έστω $X$ υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$ τότε ο $X$ είναι συμπαγής αν και μόνο αν ο $X$ είναι κλειστός και φραγμένος στο $\mathbb{R}^n$.

Απόδειξη: Αν ο $X$ συμπαγής υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$, τότε από το θεώρημα 1.5.2 είναι φραγμένος και από το θεώρημα 1.5.4 είναι κλειστός.

Τώρα αν ο $X$ είναι κλειστός και φραγμένος υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$ θέλουμε να δείξουμε ότι ο $X$ είναι συμπαγής. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι ακολουθιακά συμπαγής. Θα το δείξουμε για $n=2$, δηλαδή $\mathbb{R}^2$, αφού η απόδειξη για οποιοδήποτε $n$ είναι παρόμοια (αλλά ίσως πιο πολύπλοκη).

Εξετάζω την ακολουθία $\{x_n,y_n\}_{n=1}^{\infty}$ του $X$. Αφού ο $X$ είναι φραγμένος, υπάρχει κάποιο $a>0$ ώστε $\vert\vert z\vert\vert\leq a$ για όλα τα $z=(x,y)\in X\Rightarrow \vert x\vert,\vert y\vert\leq a$. Έτσι για κάθε $n\in \mathbb{R}^2$ έχουμε $x_n,y_n \in [-a,a]$, οπότε $x_n, y_n$ είναι ακολουθίες στο συμπαγές $[-a,a]$. Άρα υπάρχει υπακολουθία $x_{n_k}$ της $x_n$ που να συγκλίνει σε σημείο $x_0$ του $[-a,a]$. Τώρα για το ίδιο λόγο η ακολουθία $y_n$ έχει συγκλίνουσα υπακολουθία $y_{n_k}$, όριο της οποίας είναι $y_0\in [-a,a]$.

Τώρα έχουμε $x_{n_{k_m}}\rightarrow x_0$ και $y_{n_{k_m}}\rightarrow y_0$, από το θεώρημα 1.3.3

$$\{x_{n_{k_m}},y_{n_{k_m}}\}\longrightarrow (x_0,y_0)$$

Επειδή $(x_0,y_0)\in \overline{X}=X$, έχουμε ότι η υπακολουθία $\{x_{n_{k_m}},y_{n_{k_m}}\}$ της $\{x_n,y_n\}$ συγκλίνει σε σημείο του $X$, άρα ο $X$ είναι ακολουθιακά συμπαγής. $\Box$

Θεώρημα 1.5.11   Αν $A$ είναι κλείστο σύνολο, $B$ είναι συμπαγής και $A\cap B=\emptyset$, τότε $\mathop{\operator@font dist}(A,B)>0$.

Απόδειξη: Έστω $\mathop{\operator@font dist}(A,B)=0$. Τότε υπάρχει σημείο $x_n\in A$ και $y_n\in B$ με $\rho(x_n,y_n)<1/n$. Τώρα ο $B$ είναι συμπαγης, άρα (αντικαθιστώντας την ακολουθίες με υπακολουθίες) μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\{y_n\}$ συγκλίνει. Έστω $y_n \rightarrow y\in B$. Τότε $x_n \rightarrow y$ επίσης. Όμως το $A$ είναι κλειστό σύνολο, άρα $y\in A$. Οπότε $A\cap B\neq \emptyset$. $\Box$