Πλήρεις και Διαχωρίσιμοι Χώροι

Ορισμός 1.6.1   Μια ακολουθία $x_n$ ένος μετρικού χώρου $(X,\rho)$ λέγεται Cauchy ή βασική ακολουθία αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $k=k(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε για κάθε $n,m \geq k$ να ισχύει

$$\rho(x_n,x_m)<\varepsilon$$

Θεώρημα 1.6.1   Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy.

Απόδειξη: Έστω ότι η ακολουθία $x_n$ συγκλίνει σε $x$ στο μετρικό χώρο $(X,\rho)$. Έστω $\varepsilon>0$ τότε υπάρχει $k=k(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $n\geq k$ ισχύει $\rho(x_n,x)<\varepsilon$. Τώρα για κάθε $n,m>k$ και από τριγωνική ανισότητα έχουμε

$$\rho(x_n,x_m)\leq \rho(x_n,x)+\rho(x,x_m)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$$

Άρα η $x_n$ είναι ακολουθία Cauchy. $\Box$

Δείξαμε προηγουμένως ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. Το αντίθετο δεν ισχύει εν γένει, όταν ισχύει όμως έχουμε τον ορισμό του πλήρη χώρου.

Ορισμός 1.6.2   Έστω $X$ μετρικός χώρος. Όταν κάθε ακολουθία Cauchy στο $X$ συγκλίνει (σε σημείο του $X$), τότε ο $X$ λέγεται πλήρης χώρος.

Παράδειγμα: Ο υπόχωρος $X=(0,1)$ του $\mathbb{R}$ δεν είναι πλήρης αφού η ακολουθία $x_n=1/n,\ n\in \mathbb{N}$ είναι στο $X$ και είναι Cauchy αλλά δεν συγκλίνει στο $X$, ($0\not\in X$ ).

Πρόταση 1.6.1   Μια ακολουθία Cauchy που έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, συγκλίνει και η ίδια. Μάλιστα συγκλίνει στο ίδιο σημείο που συγκλίνει η υπακολουθία.

Απόδειξη: Έστω $x_n$ ακολουθία Cauchy μετρικού χώρου $(X,\rho)$. Έστω $x_{n_k}$ υπακολουθία με $x_{n_k}\rightarrow x\in X$. Έστω $\varepsilon>0$ τότε από τον ορισμό της ακολουθίας Cauchy υπάρχει $M_1\in\mathbb{N}$ ώστε για κάθε $n,m\geq M_1$ να ισχύει $\rho(x_n,x_m)<\varepsilon /2$. Τώρα επειδή $x_{n_k}\rightarrow x$, υπάρχει $M_2\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $k\geq M_2$ ισχύει $\rho(x_{n_k},x)<\varepsilon /2$. Διαλέγουμε $M=\max\{M_1,M_2\}$, τότε για κάθε $n\geq M$ και από την τριγωνική ανισότητα

$$\rho(x_n,x)\leq\rho(x_n,x_{n_k})+\rho(x_{n_k},x)<\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$$

$\Box$

Θεώρημα 1.6.2   Κάθε συμπαγής μετρικός χώρος $X$ είναι πλήρης.

Απόδειξη: Έστω μια ακολουθία Cauchy $x_n$ του μετρικού χώρου $X$. Εφόσον ο $X$ είναι συμπαγής, είναι και ακολουθιακά συμπαγής, δηλαδή κάθε ακολουθία $x_n$ έχει συγκλίνουσα υπακολουθία $x_{n_k}$ σε σημείο του $X$. Από την προηγούμενη πρόταση 1.6.1, βγάζουμε το συμπέρασμα ότι κάθε ακολουθία Cauchy στο $X$ είναι συγκλίνουσα. Δηλαδή ο $X$ είναι πλήρης. $\Box$

Παράδειγμα: Κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα $[a,b]$ του $\mathbb{R}$ είναι πλήρης υπόχωρος του $\mathbb{R}$.

Παράδειγμα: Ο $\mathbb{R}^m$ είναι πλήρης.
Απόδειξη: Έστω $x_n$ είναι ακολουθία Cauchy στο $X$. Από τον ορισμό της ακολουθίας Cauchy για $\varepsilon =1$ υπάρχει $k\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $n,m \geq k$ ισχύει ότι $\rho(x_n,x_m)<1$, δηλαδή από κάποιο $k$ και μετά όλα τα στοιχεία της ακολουθίας $x_n$ βρίσκονται σε μια μπάλα $B(x_k,1)$.

Έστω $a=\max\{\rho(x_k,x_1),\ldots.\rho(x_k,x_{k-1}),1\}$ τότε όλη η ακολουθία $x_n$ περιέχεται σε μπάλα $B(x_k,a)\subset C(x_k,a)$, όπου $C(x_k,a)$ είναι μια κλειστή μπάλα. Η $C(x_k,a)$ είναι συμπαγής υπόχωρος του $\mathbb{R}^m$ από το προηγούμενο θεώρημα 1.6.2 η $C(x_k,a)$ είναι πλήρης, άρα η $x_n$ συγκλίνει σε σημείο της $C(x_k,a)\subset \mathbb{R}^m$. Άρα ο $\mathbb{R}^m$ είναι πλήρης. $\Box$

Η πληρότητα είναι μετρική ιδιότητα και αυτό φαίνεται από την επόμενη πρόταση.

Πρόταση 1.6.2   Έστω $X$ πλήρης μετρικός χώρος και $Y$ ένας κλειστός υπόχωρος του $X$. Τότε ο $Y$ είναι πλήρης.

Απόδειξη: Έστω $y_n$ είναι μια ακολουθία Cauchy στο $Y$ τότε $y_n$ είναι ακολουθία Cauchy στο πλήρη μετρικό χώρο $X$, δηλαδή $y_n\rightarrow x\in X$. Όμως $x\in \overline{Y}$και $\overline{Y}=Y$ γιατί ο $Y$ είναι κλειστός. Άρα ο $Y$ είναι πλήρης. $\Box$

Πρόταση 1.6.3   Έστω $Y$ πλήρης υπόχωρος μετρικού χώρου $X$. Τότε $Y$ είναι κλειστός υπόχωρος του $X$.

Απόδειξη: Αρκει να δείξουμε ότι $Y=\overline{Y}=Y\cup Y'$, δηλαδή $Y'\subset Y$. Έστω $x\in Y'$, τότε υπάρχει ακολουθία $y_n$ του $Y$ με $y_n\rightarrow x$. Όμως ο $Y$ είναι πλήρης, άρα η $y_n$ πρέπει να συγκλίνει σε σημείο του $Y$ και αφού το όριο είναι μοναδικό, $x\in Y$. Άρα ο $Y$ είναι κλειστός υπόχωρος του $X$. $\Box$

Πόρισμα 1.6.1   Αν $Y\subset \mathbb{R}^n$ τότε $Y$ είναι πλήρης αν και μόνο αν το $Y$ είναι κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}^n$.