Αρχή της Συστολής

Ορισμός 1.6.3   Έστω $f: X\rightarrow Y$ είναι μια συνάρτηση από το μετρικό χώρο $(X,\rho_1)$ στο $(Y,\rho_2)$. Η $f$ ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz ή λέμε ότι η $f$ είναι συνάρτηση Lipschitz , αν υπάρχει $l>0$ ώστε για κάθε $x,y\in X$ να ισχύει

$$\rho_1(f(x),f(y))\leq l \rho_2(x,y)$$

Παράδειγμα: Η ομοιότητα ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz.

Πρόταση 1.6.4   Έστω ότι η $f: X\rightarrow Y$ ικανοποιεί την σηνθήκη Lipschitz. Τότε η $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Απόδειξη: Αρκεί να πάρουμε για $\delta=\frac{\varepsilon }{l}$ $\Box$

Ορισμός 1.6.4   Έστω μετρικός χώρος $(X,\rho)$ και $f:X\rightarrow X$ είναι μια συνάρτηση. Η $f$ λέγεται συστολή αν ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz με $0<l<1$, δηλαδή αν υπάρχει $0<l<1$ ώστε για κάθε $x,y\in X$ να ισχύει

$$\rho(f(x),f(y))\leq l \rho(x,y)$$

Πρόταση 1.6.5   Έστω $f:[a,b]\rightarrow [a,b]$ συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση με $\vert f'(x)\vert\leq l$ για κάθε $x\in(a,b)$. Τότε η $f$ ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz. στο χώρο $X=[a,b]$ με τη συνήθη μετρική $\rho$.

Απόδειξη: Έστω $x,y\in X$, υποθέτουμε ότι $x<y$. Από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει $s\in (x,y)$ ώστε $f(x)-f(y)=f'(s)(x-y)$, αν πάρουμε σ'' αυτή τη σχέση την απόλυτη τιμή, έχουμε ότι $\vert f(x)-f(y)\vert=\vert f'(s)(x-y)\vert\leq \vert f'(s)\vert\vert x-y\vert$, όμως η συνήθης μετρική στο $\mathbb{R}$ είναι η απόλυτη τιμή άρα $\rho(f(x),f(y))\leq\rho(x,y)$ και η $f$ είναι συνάρτηση Lipschitz. $\Box$

Πόρισμα 1.6.2   Αν $f:[a,b]\rightarrow [a,b]$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση με $\vert f'(x)\vert<1$ τότε η $f$ είναι συστολή.

Θεώρημα 1.6.3   Αρχή της συστόλης (θεώρημα σταθερού σημείου Banach )
Έστω $(X,\rho)$ είναι πλήρης μετρικός χώρος και η $f:X\rightarrow X$ είναι μια συστολή. Τότε η $f$ έχει μοναδικό σταθερό σημείο $x$. Μάλιστα αν $x_0\in X$ και το $x_1=f(x_0),\ x_2=f(x_1),\ldots,\ x_n=f(x_{n-1})$, τότε η ακολουθία $x_n$ συγκλίνει σ'' αυτό το σημείο, $x_n\rightarrow x$.

Απόδειξη: Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο $x_0\in X$ και ορίζουμε αναδρομικά την ακολουθία $x_n$ ως εξής $x_1=f(x_0),\ x_2=f(x_1),\ldots,\ x_n=f(x_{n-1})$. Θα δείξουμε ότι η ακολουθία $x_n$ είναι Cauchy . Επειδή η $f$ είναι συστολή, δηλαδή υπάρχει $l<1$ ώστε για κάθε $x,y\in X$ ισχύει $\rho(f(x),f(y))\leq l\rho(x,y)$, έχουμε

$$\begin{eqnarray*} \rho(x_2,x_1)&=&\rho(f(x_1),f(x_0))\leq l \rho(x_1,x_0)\\ \... ...-1})&=&\rho(f(x_{n-1}),f(x_{n-2}))\leq l^{n-1} \rho(x_1,x_0)\\ \end{eqnarray*}$$

Τώρα για κάθε $k,n\in \mathbb{N}$ και από την τριγωνική ανισότητα

$$\begin{eqnarray*} \rho(x_n,x_{n+k})&\leq& \rho(x_n,x_{n+1})+\rho(x_{n+1},x_{n+2... ...n(1+l+\cdots+l^{k-1})\rho(x_1,x_0)=\frac{l^n}{1-l}\rho(x_1,x_0) \end{eqnarray*}$$

Όμως $l<1$ και $l^n/(1-l)\rho(x_1,x_0)\rightarrow 0$ άρα υπάρχει $\varepsilon>0$ και $r\in \mathbb{N}$ που να ισχύει ότι για κάθε $n\geq r$

$$\frac{l^n}{1-l}\rho(x_1,x_0)<\varepsilon$$

Τώρα για $n,m\geq r$ έχουμε ότι $\rho(x_n,x_m)\leq l^n/(1-l)\rho(x_1,x_0)<\varepsilon$, άρα η ακολουθία $x_n$ είναι Cauchy και συγκλίνει σε κάποιο σημείο $x\in X$, αφού ο $X$ είναι πλήρης. Έχουμε δηλαδή ότι $\lim_{n\rightarrow \infty} x_{n+1}=x$, άρα

$$\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=x$$ (1.13)

Αφού $x_n\rightarrow x$ και η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής ως συστολή που είναι, έχουμε

$$f(x_n)\rightarrow f(x)$$ (1.14)

Από τις σχέσεις 1.13 και 1.14 έχουμε ότι $f(x)=x$. Άρα $x$ είναι σταθερό σημείο της $f$.

Τώρα έστω ότι έχουμε δύο σταθερά σημεία, δηλαδή $f(x)=x$ και $f(y)=y$ τότε $\rho(f(x),f(y))\leq l\rho(x,y) \Leftrightarrow \rho(x,y)\leq l \rho(x,y)<\rho(x,y)$ άτοπο αν $\rho(x,y)\neq 0$, άρα $\rho(x,y)=0$ δηλαδή $x=y$. $\Box$