Μετρήσιμα σύνολα

Ορισμός 2.2.6   Έστω $\overline\mathcal{M}$ εξωτερικό μέτρο στο $X$. Ένα υποσύνολο $A$ του $X$ θα καλείται $\overline\mathcal{M}$-μετρήσιμο σύνολο (με την έννοια του Καραθεοδώρη) αν και μόνο αν $\overline\mathcal{M}(E)=\overline\mathcal{M}(E\cap A)+\overline\mathcal{M}(E\setminus A)$ για όλα τα υποσύνολα $E$ του $X$.

Θεώρημα 2.2.4   Έστω $\overline{\mathcal{M}}$ εξωτερικό μέτρο στο $X$ και $\mathcal{F}$ μια συλλογή $\overline\mathcal{M}$-μετρήσιμων υποσυνόλων του $X$. Τότε η $\mathcal{F}$ είναι σ-άλγεβρα στο $X$ και το $\overline{\mathcal{M}}$ είναι σ-προσθετική στο $\mathcal{F}$.

Απόδειξη: Αρχικά θα δείξουμε πως $\mathcal{F}$ είναι σ-άλγεβρα. Θα δείξουμε πρώτα ότι είναι άλγεβρα και μετά χρησιμοποιώντας την πρόταση 2.1.1 δείχνουμε ότι είναι σ-άλγεβρα. Σύμφωνα με τον ορισμό 2.1.2 πρέπει το κενό και το ίδιο το σύνολο $X$ να ανήκουν στην $\mathcal{F}$ το οποίο ισχύει αφού $\overline{\mathcal{M}}(Ε)= \overline{\mathcal{M}}(E\cap\emptyset)+\overline{\mathcal{M}} (E\setminus\emptyset)$ και $\overline{\mathcal{M}}(E)= \overline{\mathcal{M}}(E\cap X)+\overline{\mathcal{M}} (E\setminus X)$ αληθεύουν ( $E\cap\emptyset=\emptyset,\, E\setminus\emptyset=E$ και $E\cap X=E,\, E\setminus X=\emptyset$ και $\overline{\mathcal{M}}(\emptyset)=0$).

Επίσης εάν $A\in\mathcal{F}$ τότε και $A^c\equiv X\setminus A\in\mathcal{F}$ αφού $\overline{\mathcal{M}}(E)= \overline{\mathcal{M}}(E\cap A)+\overline{\mathcal{... ...al{M}}(E\setminus (X\setminus A))+\overline{\mathcal{M}}(E\cap (X\setminus A))$.

Έμεινε να δείξουμε ότι η $\mathcal{F}$ είναι κλειστή ως προς πεπερασμένες τομές ή ενώσεις. Έστω $Α_1,\ A_2,\in\mathcal{F}$ τότε εξ'' υποθέσεως ξέρουμε ότι για οποιοδήποτε υποσύνολο $E$ του $X$ ισχύει

$$\overline{\mathcal{M}}(Ε)= \overline{\mathcal{M}}(E\cap A_1)+\overline{\mathcal{M}} (E\setminus A_1)$$ (2.6)

Αφού $E\cap A_1\subseteq X$ ισχύει και

$$\overline{\mathcal{M}}(E\cap A_1)= \overline{\mathcal{M}}(... ...A_1\cap A_2)+\overline{\mathcal{M}} (E\cap A_1\setminus A_2)$$ (2.7)

Απο $(1)$ και $(2)$ έχουμε $\overline{\mathcal{M}}(Ε)=\overline{\mathcal{M}}(E\cap A_1\cap A_2)+\overline{\mathcal{M}} (E\cap A_1\setminus A_2)+ \overline{\mathcal{M}} (E\setminus A_1)$.

Ο σκοπός μας, σαν πρωτο στάδιο, είναι να δείξουμε ότι $A_1\cap A_2\in\mathcal{F}$ δηλαδή να καταλήξουμε στην σχέση $\overline{\mathcal{M}}(Ε)=\overline{\mathcal{M}}(E\cap (A_1\cap A_2))+\overline{\mathcal{M}}(E\setminus (A_1\cap A_2))$ το πρώτο μέρος του αθροίσματος το έχουμε, αρκεί να δείξουμε ότι $\overline{\mathcal{M}}(E\setminus (A_1\cap A_2))=\overline{\mathcal{M}} (E\cap A_1\setminus A_2)+ \overline{\mathcal{M}} (E\setminus A_1)$ κάτι που ισχύει αφού $E\setminus (A_1\cap A_2)\in X$ και $(E\setminus (A_1\cap A_2))\cap A_1=E\cap A_1\setminus A_2,\,\ (E\setminus (A_1\cap A_2))\setminus A_1=E\setminus A_1$.

Τώρα επαγωγικά έχουμε για πεπερασμένες τομές ότι η $\mathcal{F}$ είναι κλειστή, άρα η $\mathcal{F}$ είναι άλγεβρα.

Είναι εύκολο να δούμε ότι για $A_1,A_2\in\mathcal{F}$ και $A_1\cap A_2=\emptyset$ έχουμε ότι $\overline{\mathcal{M}}(A_1\cup A_2)= \overline{\mathcal{M}}(A_1)+\overline{\mathcal{M}}(A_2)$ αφού $(A_1\cup A_2)\cap A_1=A_1$ και $(A_1\cup A_2)\setminus A_1=A_2$

Επαγωγικά ισχύει για πεπερασμένες ενώσεις $\overline{\mathcal{M}}(\bigcup^n_{i=1}A_i)=\overline{\mathcal{M}}(\sum^{n}_{i=1}A_i)$

Έστω τώρα $A_n$ ακολουθία ξένων ανά δυο μεταξύ τους συνόλων της $\mathcal{F}$ και $A=\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n$. Αν δείξω ότι $A\in\mathcal{F}$ τότε σύμφωνα με την πρόταση 2.1.1 η $\mathcal{F}$ είναι σ-άλγεβρα.

Έχουμε δείξει ότι η $\mathcal{F}$ είναι άλγεβρα, άρα αν πάρουμε από την $A_n$ πεπερασμένα στοιχεία, έστω $A_1,A_2,...,A_n$ τότε η τομή τους όπως και η ένωση θα ανήκει στην $\mathcal{F}$ αρα (για την ένωση), ισχύει πως για κάθε $E\subseteq X$ έχουμε

$$\overline{\mathcal{M}}(E)=\overline{\mathcal{M}}(E\cap\bigc... ...A_i)+\overline{\mathcal{M}}(E\setminus \bigcup^{n}_{i=1}A_i)$$

Τα στοιχεία της ακολουθίας $\{E\cap A_i \}_{i=1...n}$ είναι και αυτά ξένα μεταξύ τους, οπότε ισχύει $\overline{\mathcal{M}} (E\cap\cup^{n}_{i=1}A_i)= \sum^{n}_{i=1} \overline{\mathcal{M}} (E\cap A_i)$ και αφού ισχύει $E\setminus \cup^{n}_{i=1}A_i\supseteq E\setminus A\,\ \Rightarrow\,\ \overline... ...al{M}}(E\setminus A)\leq \overline{\mathcal{M}} (E\setminus \cup^{n}_{i=1}A_i)$ από το ορισμό του εξωτερικού μέτρου --ιδιότητα (2)--, έχουμε

$$\begin{eqnarray*} \overline{\mathcal{M}}(E) &=&\sum^{n}_{i=1}\overline{\mathca... ...\mathcal{M}}(E\cap A_i) + \overline{\mathcal{M}}(E\setminus A) \end{eqnarray*}$$

τώρα για $n\rightarrow\infty$ και επειδή το εξωτερικό μέτρο είναι υποπροσθετικό έχουμε

$$\begin{eqnarray*} \overline{\mathcal{M}}(E) &\geq&\sum^{\infty}_{i=1}\overline... ...mathcal{M}}(E\cap A) + \overline{\mathcal{M}}(E\setminus A)\\ \end{eqnarray*}$$

Τώρα, ξανά επιδή το εξωτερικό μέτρο είναι υποπροσθετικό έχουμε

$$\overline{\mathcal{M}}((E\cap A)\cup (E\setminus A))\leq \o... ...\mathcal{M}}(E\cap A) + \overline{\mathcal{M}}(E\setminus A)$$

Όμως $(E\cap A)\cup (E\setminus A)=E$. Άρα $A\in\mathcal{F}$ όποτε και η $\mathcal{F}$ είναι σ-άλγεβρα και επιπλέον έχουμε πως

$$\overline{\mathcal{M}}(E)=\sum^{\infty}_{i=1}\overline{\mathcal{M}}(E\cap A_i) + \overline{\mathcal{M}}(E\setminus A)$$

Αν όμως $E=A$ τότε

$$\overline{\mathcal{M}}(A)=\sum^{\infty}_{i=1}\overline{\mat... ...mathcal{M}}(A)=\sum^{\infty}_{i=1}\overline{\mathcal{M}}(A_i)$$

Δηλαδή η $\overline{\mathcal{M}}$ είναι σ-προσθετική στο $\mathcal{F}$. $\Box$

Θα γράφουμε σκέτο $\mathcal{M}$ για τον περιορισμό του εξωτερικού μέτρου $\overline\mathcal{M}$ στην σ-άλγεβρα $\mathcal{F}$ των μετρήσιμων συνόλων, αφού τότε γίνεται μέτρο στην $\mathcal{F}$. Έτσι βλέπουμε έναν τρόπο κατασκεύης μέτρου από ένα εξωτερίκο μέτρο.

Πρόταση 2.2.9   Τα Lebesgue μετρήσιμα σύνολα είναι μετρήσιμα (με την έννοια του Καραθεοδωρή) ή αλλιώς, ένα υποσύνολο $A$ του $\mathbb{R}$ είναι Lebesgue μετρήσιμο αν και μόνο αν ισχύει $\overline{\mathcal{L}}(E)= \overline{\mathcal{L}}(E\cap A) +\overline{\mathcal{L}}(E\setminus A)$ για όλα τα $E\subseteq\mathbb{R}$

Απόδειξη: Έστω $A$ είναι Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ και έστω $E$ οποιοδήποτε υποσύνολο του $\mathbb{R}$, τότε η ανισότητα $\overline{\mathcal{L}}(E)\leq \overline{\mathcal{L}}(E\cap A)+\overline{\mathcal{L}} (Ε\setminus A)$ ισχύει λόγο της σ-υποπροσθετικότητας του εξωτερικού μέτρου. Έστω $\varepsilon>0$ τότε υπάρχει ανοιχτό σύνολο $U$ και κλειστό $F$ ώστε $F\subseteq A\subseteq U$ και $\mathcal{L}(U\setminus F)< \varepsilon$ (από το θεώρημα 2.2.2). Έστω $V\supseteq E$ ανοιχτό σύνολο, τότε

$$\begin{eqnarray*} \overline{\mathcal{L}}(E\setminus A) +\overline{\mathcal{L}}(... ...nus F) +\mathcal{L}(V\cap U)\\ &<& \mathcal{L}(V)+\varepsilon \end{eqnarray*}$$

πέρνοντας το κάτω πέρας για όλα τέτοια $V$ έχουμε $\overline{\mathcal{L}}(E\setminus A) +\overline{\mathcal{L}} (E\cap A) < \mathcal{L}(E) +\varepsilon$ και αφού ισχύει για κάθε $\varepsilon$ θετικό έχουμε τελικά $\overline{\mathcal{L}}(E\setminus A) +\overline{\mathcal{L}}(E\cap A) \leq \overline{\mathcal{L}}(E)$

Αντίστροφα, έστω $A$ είναι μετρήσιμο σύνολο (με την έννοια του Καραθεοδωρή). Θέωρουμε την περηπτώση όταν $\overline{\mathcal{L}}(A)<\infty$. Έστω $\varepsilon>0$ και $U$ Lebesgue μετρήσιμο υπερσύνολο του $A$ ώστε να ισχύει $\mathcal{L}(U)<\overline{\mathcal{L}}(A)+\varepsilon$. Τώρα από υπόθεση έχουμε ότι

$$\overline{\mathcal{L}}(U)=\overline{\mathcal{L}}(U\setminus A) +\overline{\mathcal{L}}(U\cap A)$$

έτσι ώστε $\overline{\mathcal{L}}(U\setminus A)<\varepsilon$. Άρα υπάρχει ένα ανοιχτο σύνολο $V\supseteq U\setminus A$ με $\mathcal{L}(V)<\varepsilon$. Τότε $U\setminus V$ είναι Lebesgue μετρήσιμο και $\mathcal{L}(U\setminus V)>\mathcal{L}(U) -\varepsilon$, έτσι υπάρχει κλειστό σύνολο $F\subseteq U\setminus V \subseteq A$ με $\mathcal{L}(F)>\mathcal{L}(U)-\varepsilon$. Έτσι $F\subseteq A\subseteq U$ και $\mathcal{L}(U\setminus F)< \varepsilon$. Άρα το $A$ είναι Lebesgue μετρήσιμο. $\Box$

Στην επόμενη παράγραφο θα παρουσιάσουμε δύο τρόπους κατασκευής εξωτερικού μέτρου.