σ-άλγεβρα

Οι σ-άλγεβρες αποτελούν το πεδίο ορισμού για την συνολοσυνάρτηση που θα ορίσουμε να καλείται μέτρο. Στην παράγραφο αύτη θα ασχοληθούμε με την σ-άλγεβρα, ορίζοντας και μελετώντας διάφορες ιδιότητές της.

Ορισμός 2.1.1   Μια οικογένεια $\mathcal{A}$ υποσυνόλων ενός συνόλου $X$ λέγεται σ-άλγεβρα στο $X$ αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες

1. $X\in\mathcal{A}, \emptyset\in\mathcal{A}$
2. Αν $Α\in\mathcal{A}$ τότε $A^c\equiv X\setminus A\in\mathcal{A}$
3. Αν $A_1,A_2,... \in\mathcal{A}$ τότε $\bigcap^{\infty}_{n=1} A_n \in\mathcal{A}$

Με την ιδιότητα (1) απαιτούμε το κενό σύνολο να ανήκει στην σ-άλγεβρα και με τις ιδιότητες (2) και (3) απαιτούμε η σ-άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς τα συμπληρώματα και τις αριθμήσιμες τομές αντίστοιχα. Ισοδύναμα, στην θέση της ιδιότητας (3) θα μπορούσαμε να ζητήσουμε να ικανοποιείται

3'

Αν $A_1,A_2,... \in\mathcal{A}$ τότε $\bigcup^{\infty}_{n=1} A_n \in\mathcal{A}$

δηλαδή η σ-άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς αριθμήσιμες ενώσεις.

Απόδειξη: Στην περίπτωση που ισχύει η (3) έχουμε $A_{1}^c,A_{2}^c,...\in\mathcal{A}$ από την (2), τότε όμως από την (3) έχουμε $\bigcap^{\infty}_{n=1} A_{n}^c \in\mathcal{A}\Leftrightarrow \left(\bigcup^{\i... ...ight)^c\in\mathcal{A}\Leftrightarrow \bigcup^{\infty}_{n=1} A_n \in\mathcal{A}$. $\Box$

Θα ορίσουμε τώρα την άλγεβρα. Ο λόγος που το κάνουμε είναι ότι σε μερικές περιπτώσεις η άλγεβρα θα αποτελεί το ενδιάμεσο στάδιο πριν την σ-άλγεβρα.

Ορισμός 2.1.2   Μια οικογένεια $\mathcal{A}$ υποσυνόλων ενός συνόλου $X$ λέγεται άλγεβρα στο $X$ αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες

1. $X\in\mathcal{A}, \emptyset\in\mathcal{A}$
2. Αν $Α\in\mathcal{A}$ τότε $A^c\equiv X\setminus A\in\mathcal{A}$
3. Αν $A_1,A_2,...,A_n \in\mathcal{A},\,\ n\in\mathbb{N}$ τότε $\bigcap^{n}_{i=1} A_i\in\mathcal{A}$

Όπως είναι φανερό η μόνη διαφόρα της άλγεβρας από τη σ-άλγεβρα βρίσκεται στην ιδιότητα (3) η οποία απαιτεί η άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς πεπερασμένες τομές (όχι αριθμήσιμες όπως στην σ-άλγεβρα). Επιπλέον όπως και στην σ-άλγεβρα η τρίτη ιδιότητα είναι ισοδύναμη με αριθμήσιμες ενώσεις έτσι και στην άλγεβρα μπορούμε να απαιτήσουμε, αντί της τρίτης ιδιότητας, η άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς τις πεπερασμένες ενώσεις.

Είναι προφανές ότι κάθε σ-άλγεβρα είναι και άλγεβρα. Το αντίθετο δεν ισχύει πάντοτε. Στην επόμενη πρόταση θα δείξουμε μια περίπτωση όταν μια άλγεβρα είναι σ-άλγεβρα.

Πρόταση 2.1.1   Έστω $\mathcal{A}$ άλγεβρα στο $X$. Αν για κάθε ακολουθία $A_n$ ξένων ανά δύο στοιχείων της $\mathcal{A}$ ισχύει $\bigcup^{\infty}_{n=1} A_n \in\mathcal{A}$ τότε η $\mathcal{A}$ είναι σ-άλγεβρα.

Απόδειξη: Αφού η $\mathcal{A}$ είναι άλγεβρα, αρκεί να δείξουμε ότι η $\mathcal{A}$ είναι κλειστή ως προς αριθμήσιμες τομές ή ενώσεις (θα το κάνουμε για ενώσεις). Έστω $B_n$ ακολουθία στην $\mathcal{A}$.

Θέτουμε $A_n=B_n\setminus\bigcup_{i<n}B_i,\,\ n=1,2,...$. Τότε $A_n\in\mathcal{A}$, τα $A_n$ είναι ξένα ανα δύο μεταξύ τους και $\bigcup^{\infty}_{i=1}B_n=\bigcup^{\infty}_{i=1}A_n\in\mathcal{A}$. $\Box$

Θα δώσουμε μερικά παραδείγματα σ-άλγεβρων.
Παράδειγμα: Για οποιοδήποτε σύνολο $X$ η οικογένεια $\{\emptyset,X\}$ και το δυναμοσύνολο $\mathcal{P}(X)$ είναι σ-άλγεβρες στο $X$. Μάλιστα η πρώτη είναι η ελάχιστη και η δεύτερη η μέγιστη σ-άλγεβρα στο $X$

Παράδειγμα: Έστω $\mathcal{A}=\{A \subset\mathbb{Ν} \ \hbox{ώστε}\ A \ \hbox{πεπερασμένο ή}\ \mathbb{Ν}\setminus A \ \hbox{πεπερασμένο}\}$ τότε η $\mathcal{A}$ είναι άλγεβρα αλλά όχι σ-άλγεβρα στο $\mathbb{N}$

Παράδειγμα: Έστω $\mathcal{A}$ οικογένεια υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $\mathcal{A}=\{A \subset\mathbb{R} \ \hbox{ώστε}\ A \ \hbox{το πολύ αριθμήσιμο ή}\ \mathbb{R}\setminus A \ \hbox{το πολύ αριθμήσιμο}\}$ τότε $\mathcal{A}$ είναι σ-άλγεβρα στο $\mathbb{R}$

Θα διατυπώσουμε ένα θεώρημα το οποίο μας εξασφαλίζει, πως ο ορισμός που θα δώσουμε στην συνέχεια για τα σύνολα Borel, έχει νόημα.

Θεώρημα 2.1.1   Αν $\mathcal{D}$ είναι μια οικογένεια υποσυνόλων ενός συνόλου $X$, τότε υπάρχει η ελάχιστη σ-άλγεβρα $\mathcal{F}$ στο $X$ τέτοια ώστε $\mathcal{D}\subseteq\mathcal{F}$.

Απόδειξη: Θα δείξω πως η τομή σ-αλγεβρών στο $X$ είναι και αυτή σ-άλγεβρα στο $X$. Έστω $\mathcal{C}$ μια συλλογή σ-αλγεβρών στο $X$ και $\mathcal{B}=\bigcap_{\mathcal{A}\in\mathcal{C}} \mathcal{A}$ είναι η τομή των στοιχείων της. Έχουμε πως $\emptyset\in\mathcal{B}$ όπως επίσης και $X\in\mathcal{B}$, αφού και τα δύο σύνολα ανήκουν σε όλες τις σ-άλγεβρες (οπότε θα ανήκουν και στην τομή). Αν $A\in\mathcal{B}$ τότε $A$ θα πρέπει να ανήκει σ'' όλες τις σ-άλγεβρες $\mathcal{A}\in\mathcal{C}$, οπότε και $A^c$ ανήκει σ'' όλες τις σ-άλγεβρες $\mathcal{A}\in\mathcal{C}$, άρα η $A^c\in\mathcal{B}$. Τέλος αν $A_1,A_2,... \in\mathcal{Β}$ τότε $A_1,A_2,... \in\mathcal{Α}$ για όλες τις $\mathcal{A}\in\mathcal{C}$, και άρα $\bigcap^{\infty}_{n=1} A_n$ ανήκει σ'' όλες τις $\mathcal{A}\in\mathcal{C}$, άρα $\bigcap^{\infty}_{n=1} A_n\in\mathcal{B}$

Έστω σύνολο $\mathcal{D}$ υποσυνόλων του $X$, και έστω $\mathcal{C}$ η συλλογή σ-αλγεβρών του $X$, τέτοιο ώστε $\mathcal{D}\subseteq\mathcal{A},\, \mathcal{A}\in\mathcal{C}$ (υπάρχει τουλάχιστον μια τέτοια σ-άλγεβρα -- το δυναμοσύνολο του $X$). Τότε όμως η τομή $\cap_{\mathcal{A}\in\mathcal{C}} \mathcal{A}$ είναι η σ-άλγεβρα $\mathcal{F}$ στο $X$ που θέλουμε.

Θα λέμε πως $\mathcal{F}$ είναι η σ-άλγεβρα στο $X$ που παράγεται από το $\mathcal{D}$ $\Box$

Και τώρα θα ορίσουμε τα σύνολα Borel

Ορισμός 2.1.3   Έστω $X$ μετρικός χώρος. Ένα υποσύνολο του $X$ θα λέγεται σύνολο Borel αν και μόνο ανήκει σε μια σ-άλγεβρα του $X$ που παράγεται από ανοικτά σύνολα.

Παράδειγμα: Στο $\mathbb{R}^n$ κάθε ανοιχτό ή κλειστό σύνολο είναι σύνολο Borel

Πρόταση 2.1.2   Η ένωση ή η τομή κάθε πεπερασμένης η αριθμήσιμης συλλογής συνόλων Borel είναι σύνολο Borel

Λογική συνέπεια είναι ότι οποιοδήποτε σύνολο του $\mathbb{R}$ που μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μια ακολουθία αριθμήσιμων ενώσεων ή τομών ανοιχτών ή κλειστών συνόλων σίγουρα θα είναι σύνολο Borel