Πρόλογος

Στην παρούσα πτυχιακή εργασία παρουσιάζουμε την θεωρία των θραυσμάτων (fractal geometry) και πως ένα μέρος από αυτήν, εφαρμόζεται στην συμπίεση της ψηφιακής εικόνας.

Η λέξη fractal εισάχθηκαι για πρώτη φορά από τον Benoit Mandelbrot το 1970 και αποτελεί ένα όνομα για μια κλάση συνόλων που θα ορίσουμε πιό κάτω. Πρώτα όμως θα εξετάσουμε την προέλευση της και να δώσουμε μια μετάφραση. Η λέξη fractal προέρχεται από την λατινική λέξη fractus που θα μπορούσε να μεταφραστεί σαν τμήμα, κομμάτι, θραυσμά ή κλάσμα και κατά κάποιο τρόπο χαρακτηρίζει τα σύνολα που είναι fractal με την έννοια ότι κατά μεγάλο ποσοστό τέτοια σύνολα έχουν κλασματική ή καλύτερα μη ακέραια διάσταση Hausdorff (όχι όμως όλα, για παράδειγμα το σύνολο ((σκόνη Cantor)), σχήμα 3.2). Προσπαθώντας να βρούμε την κατάλληλη μετάφραση στο όρο fractus, καταλήξαμε στην λέξη θραύσμα. Οπότε fractal θα είναι θραυσματικό σύνολο.

Ο ίδιος ο Mandelbrot αρχικά έχει ορίσει τα θραυσματικά σύνολα να είναι εκείνα τα οποία αν μεγεθύνουμε οποιοδήποτε τμήμα του συνόλου θα πάρουμε ένα όμοιο σύνολο με το αρχικό. Στην συνέχεια έβγαλε έναν πιο αυστηρό μαθηματικό ορισμό, που έλεγε ότι τα θραυσματίκα σύνολα είναι εκείνα που έχουν την θραυσματική τους διάσταση (fractal diamension) αυστηρά μικρότερη από την τοπολογική. Λέγοντας θραυσματική διάσταση εννούσε στην ουσία την διάσταση Hausdorff, ορισμος 3.2.1. Σήμερα επικτρατεί η άποψη λοτι τα θραυσματικά σύνολα είναι αυτά που η διάσταση Hausdorff τους είναι διαφορετική από την τοπολογική.

Το πρώτο κεφάλαιο εισάγει τους βασικούς ορισμούς και θεωρήματα από την μετρική τοπολογία. Στην παράγραφο $1.5$ όπου μελετάται η συμπάγεια κατασκευάζουμε και ορίζουμε το σύνολο Cantor, που είναι και το πρώτο παράδειγμα ενός θραυσαμτικού συνόλου. Το θεώρημα 1.6.3 που στην τοπολογία είναι γνωστό και ως αρχή της συσυτολής ή θεώρημα σταθερού σημείου Banach, θα αποτελέσει το θεμέλιο λίθο στην πρακτική εφαρμογή της πτυχιακής εργασίας, την συμπίεση της ψηφιακής εικόνας. Στην παράγραφο $1.9$ ορίζουμε την μετρική Hausdorff που εφοδιάζει το μετρικό χώρο $\mathcal{K}(X)$ που είναι όλα τα μη κενά συμπαγή υποσύνολα του $X$ που πάλι είναι αναγκαία για το θεωρετικό μέρος της πρακτηκής εφαρμογής της πτυχιακής εργασίας.

Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τα βασικά εισαγωγικά στοιχεία της θεωρίας μέτρου. Ορίζει αυστηρά το μέτρο και το εξωτερικό μέτρο. Για καλύτερη κατανόηση εισάγουμε ως παράδειγμα το μέτρο Lebesgue. Περιγράφεται η μέθοδος Καραθεοδωρή της κατασκευής του εξωτερικού μέτρου και παρουσιάζεται το κριτήριο μετρησιμότητας κατά Καραθεοδωρή που είναι αναγαία στην κατασκευή του $s$-διάστατου μέτρου Hausdorff.

Στο τρίτο κεφάλαιο που είναι και το κυριότερο, ορίζουμε την διάσταση Hausdorff ενός συνόλου. Δίνουμε μερικά παραδείγματα θραυσματικών συνόλων και μερικές τεχνικές υπολογισμού της διάστασής τους. Στην παράγραφο $3.4$ ασχολούμαστε με ένα υποσύνολο των θραυσματικών συνόλων -- τα αυτοόμοια σύνολα. Ο λόγος είναι ότι τέτοια σύνολα και η θεωρία τους βρίσκουν μέγαλο μέρος στην πρακτική εφαρμογή. Το θεώρημα 3.4.1 που είναι και το θεώρημα σταθερού σημείου Banach στο μετρικό χώρο $\mathcal{K}(X)$ εφοδιασμένο με την μετρική Hausdorff όπως και το θεώρημα 3.4.4 γνωστό και ως το θεώρημα ((κολάζ)), είναι τα δύο κύρια θεωρήματα που χρησιμοποιεί ο αλγόριθμος της fractal συμπίεσης της ψηφιακής εικόνας.

Τέλος στο κεφάλαιο $4$ παρουσιάζουμε πως η θεωρία των θραυσματικών συνόλων και για την ακρίβεια των αυτοόμοιων συνόλων μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη και να συμπιέση μια ψηφιακή εικόνα.