Πεπερασμένο Εξωτερικό Μέτρο

Ορισμός 2.3.1   Ένα εξωτερικό μέτρο πάνω σε φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}^n$ και για το οποίο ισχύει ότι $0<\mathcal{\overline{M}}(\mathbb{R}^n)<\infty$ θα καλείται πεπερασμένο εξωτερικό μέτρο

Φυσικά, ο περιορισμός του πεπερασμένου εξωτερικού μέτρου σε μετρήσιμα σύνολα, θα λέγεται (και θα είναι) πεπερασμένο μέτρο.

Πολλές φορές αντιλαμβανόμαστε το πεπερασμένο μέτρο σαν μια πεπερασμένη ((μάζα)) η οποία σκορπίστηκε με κάποιο τρόπο στο σύνολο $X$ για το οποίο και στην συνέχεια λέμε πεπερασμένο μέτρο στο $X$. Τότε οι προϋποθέσεις του μέτρου θα ικανοποιούνται.

Πρόταση 2.3.1   Έστω $\mathcal{\overline{M}}$ ένα εξωτερικό μέτρο στο $\mathbb{R}^n$ και $A$ ένα υποσύνολο Borel του $\mathbb{R}^n$. Τότε ο περιορισμός $\mathcal{\overline{N}}$ του $\mathcal{\overline{M}}$ στο σύνολο $A$, δηλαδή $\mathcal{\overline{N}}(B)=\mathcal{\overline{M}}(B\cap A)$ για οποιοδήποτε υποσύνολο $B$ του $\mathbb{R}^n$, είναι και αυτό ένα εξωτερικό μέτρο στο $\mathbb{R}^n$.

Η παρακάτω μέθοδος θα χρησιμοποιείται συχνά στην κατασκευή του πεπερασμένου εξωτερικού στα υποσύνολα του $\mathbb{R}^n$. Χρησιμοποιεί την επαναλαμβανόμενη υποδιαίρεση της ((μάζας)) μεταξύ τμημάτων ενός φραγμένου συνόλου Borel $A$. Έστω $\mathcal{A}_0$ αποτελείται από ένα μόνο σύνολο το $A$. Για $k=1,2,\ldots$ ορίζουμε το $\mathcal{A}_k$ να είναι μια συλλογή υποσυνόλων Borel του $A$ έτσι ώστε κάθε σύνολο $U$ του $\mathcal{A}_k$ να περιέχεται σε ένα από τα σύνολα της $\mathcal{A}_{k-1}$ και να περιέχει ένα πεπερασμένο αριθμό συνόλων στην $\mathcal{A}_{k+1}$. Υποθέτουμε ότι η μέγιστη διάμετρος των συνόλων στο $\mathcal{A}_k$ τείνει στο $0$ όσο το $k\rightarrow \infty$. Υποθέτουμε επιπλέον, ότι αν $\{U_k\}$ είναι μια φθίνουσα ακολουθία συνόλων με $U_k\in \mathcal{A}_k$, τότε $\cap_{k=1}^{\infty}U_k \neq \emptyset$. Οριζούμε το εξωτερικό μέτρο στο $A$ με επαναληπτική υποδιαίρεση, σχήμα 2.1. Έστω $\mathcal{\overline{M}}(A)$ να είναι ένας μη μηδενικός πεπερασμένος αριθμός, και τον χωρίζουμε στα σύνολα $U_1,\ldots,U_m$ στην $\mathcal{A}_1$ έτσι ώστε $\sum_{i=1}^{m}\mathcal{\overline{M}}(U_i)=\mathcal{\overline{M}}(A)$. Ομοίως, μοιράζουμε την ((μάζα)) στα σύνολα του $\mathcal{A}_2$, έτσι ώστε αν $U_1,\ldots,U_m$ είναι τα σύνολα του $\mathcal{A}_2$ που περιέχονται σ'' ένα σύνολο του $\mathcal{A}_1$, τότε $\sum_{i=1}^{m}\mathcal{\overline{M}}(U_i)= \mathcal{\overline{M}}(U)$. Γένικα, μοιράζουμε την μάζα έτσι ώστε

$$\sum_{i=1}\mathcal{\overline{M}}(U_i)=\mathcal{\overline{M}}(U)$$

για κάθε σύνολο $U$ του $\mathcal{A}_k$, όπου η ακολουθία $\{U_i\}$ είναι πεπερασμένα ξένα μεταξύ τους σύνολα του $\mathcal{A}_{k+1}$ που περιέχονται στο $U$. Για κάθε $k$, έστω $E_k$ να είναι η ένωση των συνόλων του $\mathcal{A}_k$ και ορίζουμε $\mathcal{\overline{M}}(\mathbb{R}^n\setminus E_k)=0$.

Figure: Τα βήματα κατασκευής του πεπερασμένου μέτρου $\mathcal{\overline{M}}$ με επαναλαβανόμενη υποδιαίρεση. Για παράδειγμα $\mathcal{\overline{M}}(U)=\mathcal{\overline{M}}(U_1)+\mathcal{\overline{M}}(U_2)$.

Έστω $\mathcal{A}$ να είναι η συλλογή των συνόλων του ανήκουν στο $\mathcal{A}_k$ για κάποιο $k$ μαζί με τα σύνολα $\mathbb{R}^n\setminus E_k$. Η παραπάνω διαδικασία ορίζει το πεπερασμένο εξωτερικό μέτρο $\mathcal{\overline{M}}(A)$ για κάθε σύνολο $A\in \mathcal{A}$, και είναι λογικό πως κατασκευάζοντας σύνολα από τα σύνολα του $\mathcal{A}$, είναι αρκετό για το πεπερασμένο μέτρο $\mathcal{\overline{M}}$ στο $A$, για να ορίσουμε το $\mathcal{\overline{M}}(B)$ για όλα τα σύνολα $B$ του $A$. Αυτό το δείχνει η επόμενη πρόταση.

Πρόταση 2.3.2   Έστω $\mathcal{\overline{M}}$ να είναι ορισμένη στην συλλόγη των συνόλων $\mathcal{A}$ όπως παραπάνω. Τότε ο ορισμος της $\mathcal{\overline{M}}$ μπορεί να επεκταθεί σε όλα τα υποσύνολα του $\mathbb{R}^n$ έτσι ώστε το $\mathcal{\overline{M}}$ να γίνει εξωτερικό μέτρο. Μάλιστα αν το $\mathcal{\overline{M}}$ το περιορίσουμε σε σύνολα Borel, τότε γίνεται πεπερασμένο μέτρο.

Απόδειξη: Αν $B$ είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του $\mathbb{R}^n$, ορίζουμε

$$\mathcal{\overline{M}}(B)=\inf\left\{ \sum_{i}\mathcal{\ov... ...teq \bigcup_i U_i \ \hbox{και}\ U_i\in \mathcal{A}\right\}$$ (2.8)

Έτσι παίρνουμε την μικρότερη τιμή που γίνεται από το άθροισμα $\sum_{i}\mathcal{\overline{M}}(U_i)$ όπου τα σύνολα $U_i$ είναι στο $\mathcal{A}$ και καλύπτουν το $B$, έχουμε ήδη ορίσει $\mathcal{\overline{M}}(U_i)$ για τέτοια σύνολα. Αν $B$ είναι ένα από τα σύνολα του $\mathcal{A}$ τότε ισούται με $\mathcal{\overline{M}}(B)$ όπως έχει οριστεί στην κατασκευή. Παίρνοντας λοιπον για εξωτερικό μέτρο την σχέση 2.8 είναι φανερή η απόδειξη. $\Box$