Ομοιόμορφη Σύγκλιση Συναρτήσεων

Ορισμός 1.7.1   Έστω $(X,\rho)$ και $(Y,\rho)$ είναι δύο μετρικοί χώροι. Έστω $f,f_n:X\rightarrow Y$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$. Η ακολουθία συναρτήσεων $f_n$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$ αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $m=m(\varepsilon )\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $x\in X$ και $n\geq m$ να ισχύει

$$\rho(f_n(x),f(x))<\varepsilon .$$

Θεώρημα 1.7.1   Έστω η συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ και η ακολουθία συναρτήσεων $f_n:X\rightarrow Y$ από το μετρικό χώρο $(X,\rho)$ στο μετρικό χώρο $(Y,\rho)$. Έστω ότι η ακολουθία $\{f_n\}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στη $f$ και για όλα τα $n\in\mathbb{N}$ και οι συναρτήσεις $f_n$ είναι συνεχείς. Τότε η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση.

Απόδειξη: Έστω $x\in X$. Πρέπει να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x$. Έστω $\varepsilon>0$ πρέπει να βρούμε κατάλληλο $\delta>0$ ώστε για κάθε $y\in X$ που ικανοποιεί $\rho_1(x,y)<\delta$ να ισχύει ότι

$$\rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon$$ (1.16)

Έτσι λοιπόν, από την τριγωνική ανισότητα και για όλα τα $n\in\mathbb{N}$ έχουμε ότι για κάθε $y\in Y$ ισχύει

$$\rho_2()\leq \rho_(f(x),f_n(x))+\rho_2(f_n(x),f_n(y))+\rho_2(f_n(y),f(y))$$ (1.17)

Επειδή η ακολουθία συναρτήσεων $f_n$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$, υπάρχει $m\in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε για κάθε $n\geq m$ ισχύει ότι

$$\rho_2(f(z),f_n(z))<\frac{\varepsilon }{3}$$ (1.18)

για κάθε $z\in X$

Διαλέγουμε $n=m$, τότε και αφού η $f_m(x)$ είναι συνεχής συνάρτηση, υπάρχει $\delta =\delta (x)>0$ τέτοιο ώστε

$$\rho_1(x,y)<\delta \Rightarrow \rho_2(f_m(x),f_n(x))<\frac{\varepsilon }{3}$$ (1.19)

Από τις προτάσεις 1.17,1.18 και 1.19 ισχύει η πρόταση 1.16.

Άρα η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση. $\Box$

Ορισμός 1.7.2   Μια συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ από μετρικό χώρο $(X,\rho_1)$ στο μετρικό χώρο $(Y,\rho_2)$ λέγεται φραγμένη αν η εικόνα $f[X]$ είναι φραγμένο υποσύνολο του $Y$, δηλαδή αν και μόνο αν το σύνολο $\{\rho_2(f(x),f(y))\ \hbox{όπου}\ \ x,y\in Y\}$ είναι φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}$.

Έστω μετρικοί χώροι $(X,\rho_1)$ και $(Y,\rho_2)$. Οριζούμε το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων από το μετρικό χώρο $X$ στο μετρικό χώρο $Y$ να είναι

$$\mathcal{C}(X,Y)=\{f:X\rightarrow Y \ \hbox{όπου}\ f \ \hbox{είναι συνεχής συνάρτηση}\}.$$

Πρόταση 1.7.1   Έστω ότι για όλα τα $f,g\in \mathcal{C}(X,Y)$ έχουμε

$$\rho_u(f,g)=\sup\{\rho_2(f(x),g(x)) \ \hbox{όπου}\ x\in X\},\quad \hbox{η}\ \rho_2 \ \hbox{είναι η μετρική στο}\ Y.$$

Τότε η $\rho_u$ είναι μετρική στο $\mathcal{C}(X,Y)$.

Απόδειξη: Είναι προφανές ότι η $\rho_u$ είναι θετική και αν $\rho_u(f,g)=0$ τότε $f(x)=g(x)$. Επίσης $\rho_u(f,g)=\rho_u(g,f)$.

Τώρα σχετικά με την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι για κάθε $x\in X$ ισχύει

$$\begin{eqnarray*} \rho_2(f(x),g(x))&\leq &\rho_2(f(x),h(x)) +\rho_2(h(x),g(x))\... ...(h,f)\Rightarrow \\ \rho_u(f,g)&\leq&\rho_2(f,h) +\rho_u(h,g) \end{eqnarray*}$$

Άρα η $\rho_u$ είναι μετρική. $\Box$

Η $\rho_u$ λέγεται η συνήθης μετρική στο μετρικό χώρο $\mathcal{C}(X,Y)$.

Θεώρημα 1.7.2   Έστω $(Y,\rho)$ είναι ένας πλήρης μετρικός χώρος, τότε και ο $\mathcal{C}(X,Y)$ είναι πλήρης.

Απόδειξη: Έτσω $\{f_n\}$ ακολουθία Cauchy στο μετρικό χώρο $(\mathcal{C}(X,Y),\rho_u)$, δηλαδή για κάθε $\varepsilon>0$, υπάρχει $k\in \mathbb{N}$ ώστε $\rho_u(f_n,f_m)<\varepsilon /2$ για κάθε $n,m>k$. Δηλαδή για κάθε $x\in X$

$$\rho(f_n(x),f_m(x))<\frac{\varepsilon }{2}$$ (1.20)

άρα η $\{f_n\}$ είναι ακολουθία Cauchy στο μετρικό χώρο $(Y,\rho)$. Όμως ο $Y$ είναι πλήρης άρα $f_n\rightarrow f$ του $Y$, δηλαδή υπάρχει $f(x)\in Y$ ώστε για κάθε $x\in X$ η $f_n(x)\rightarrow f(x)$. Τώρα γι'' αυτήν την συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ έχουμε, από την τριγωνική ανισότητα, ότι για κάθε $x\in X$ και για κάθε $n,m\in \mathbb{N}$

$$\rho(f(x),g(x))\leq \rho(f(x),f_m(x))+\rho(f_m(x),f_n(x))$$ (1.21)

Τώρα δεδομένο ότι $x\in X$ και $f_n\rightarrow f$, υπάρχει $m=m(x)\in \mathbb{N}$ ώστε

$$\rho(f(x),f_m(x))<\frac{\varepsilon }{2}$$ (1.22)

Από τις προτάσεις 1.21,1.20 και 1.22, έχουμε ότι για κάθε $n\geq k$ και για κάθε $x\in X$ ισχύει

$$\rho(f(x),f_n(x))<\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$$

άρα η $\{f_n\}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$. Από το θεώρημα 1.7.1 η $f$ είναι συνεχής άρα ανήκει στο $\mathcal{C}(X,Y)$ οπότε ο $\mathcal{C}(X,Y)$ είναι πλήρης. $\Box$

Ορισμός 1.7.3   Έστω $(X,\rho_1)$ ένας κυρτός μετρικός υπόχωρος του μετρικού χώρου $\mathbb{R}^n$ και $(Y,\rho_2)$ είναι ο μετρικός χώρος $\mathbb{R}^m$ με τη συνήθη μετρική. Η συνάρτηση $f: X\rightarrow Y$ λέγεται συσχετιζόμενη (affine) αν και μόνο αν ικανοποιεί

$$f(t x+(1-t) y)=t f(x)+(1-t) f(y)$$

για κάθε $x,y\in X$ και $t\in [0,1]$

Πιο απλά η συσχετιζόμενη συνάρτηση είναι συνδυιασμός γραμμικού μετασχηματισμού και παραλλήλης μεταφοράς.

Πρόταση 1.7.2   Μια συσχετιζόμενη συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ πρέπει να είναι της μορφής $f(x)=\alpha x +\beta$ όπου $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$

Απόδειξη: Αν $a=b$ τότε δεν έχει νόημα να συζητάμε, οπότε υποθέτουμε ότι $a<b$. Τώρα αν $x\in [a,b]$ τότε

$$x=\frac{b-x}{b-a}a+\frac{x-a}{b-a}b$$

που είναι της μορφής $t a +(1-t) b$, $t\in [0,1]$. Άρα

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\ &=&\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x +\frac{b f(a)-a f(b)}{b-a} \end{eqnarray*}$$

αν

$$\alpha =\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\quad \beta =\frac{b f(a)-a f(b)}{b-a}$$

έχουμε το ζητούμενο. $\Box$

Μια συνεχής καμπύλη στο μετρικό χώρο $(X,\rho)$ είναι η εικόνα μιάς συνεχής συνάρτησης $f:[0,1]\rightarrow X$.

Ορισμός 1.7.4   Μια συνεχής καμπύλη $f[0,1]$ στον $\mathbb{R}^n$, όπου $n\geq 2$ λέγεται γεμίζουσα τον χώρο καμπύλη αν και μόνο αν η $f[0,1]$ περιέχει μια ανοιχτή μπάλα με κέντρο $x$ και ακτίνα $r>0$, όπου $x\in\mathbb{R}^n$.